Вписанная в четырехугольник окружность

Определение.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

Теорема 1.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

vpisannaya-v-chetyrekhugolnik-okruzhnostВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

AB+CD=BC+AD.

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

AB+CD=BC+AD,

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Теорема 2.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

centr-vpisannoj-v-chetyrekhugolnik-okruzhnostiO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

tochki-kasaniya-vpisannoj-v-chetyrekhugolnik-okruzhnostiAM=AN,

BM=BK,

CK=CF,

DF=DN

(как отрезки касательных, проведенных из одной точки).

4.

radius-vpisannoj-v-chetyrekhugolnik-okruzhnosti

    \[OM \bot AB,\]

    \[OK \bot BC,\]

    \[OF \bot CD,\]

    \[ON \bot AD\]

(как радиусы, проведенные в точки касания).

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него  окружности формулой

    \[S = p \cdot r,\]

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

    \[{S_{ABCD}} = (AD + BC) \cdot r,\]

или

    \[{S_{ABCD}} = (AB + CD) \cdot r.\]

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

    \[r = \frac{S}{p}\]

Для описанного четырехугольника ABCD

    \[r = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}}\]

или

    \[r = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>