На стороне треугольника как на диаметре построена окружность

Задача

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠BC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Найти AH.

na-storone-postroena-okruzhnostДано: ΔABC,

AD=49, AD и BF — высоты, AD ∩ BF=H,

полуокружность с диаметром BC пересекает AD в точке M, MD=42

Найти: AH

Решение:

na-storone-kak-na-diametreДостроим полуокружность до окружности и продлим AD до пересечения с окружностью в точке K.

Точка F лежит на окружности ( если вписанный угол — прямой, то он опирается на диаметр).

Прямоугольные треугольники ADC и AFH подобны по общему острому углу A.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[ \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AH}}, \]

отсюда

    \[ AH = \frac{{AF \cdot AC}}{{AD}}. \]

По свойству секущих, проведённых из одной точки,

    \[ AM \cdot AK = AF \cdot AC. \]

AM=AD-MD=49-42=7,

DK=MD=42 (так как диаметр BC перпендикулярен хорде MK, то он проходит через её середину).

AK=AD+DK=49+42=91.

Следовательно,

    \[ AM \cdot AK = 7 \cdot 91 = AF \cdot AC, \]

Ответ: 13.

Добавить комментарий