Скалярное произведение векторов

Определение 1

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

    \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi , \]

где

    \[ \varphi = \angle (\overrightarrow a ;\overrightarrow b ). \]

(0°≤φ≤180°).

Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение принимают равным нулю.

Определение 2

Скалярным произведением двух векторов

    \[ \overrightarrow a (a_1 ;a_2 );\overrightarrow b (b_1 ;b_2 ) \]

называется сумма произведений их соответствующих координат:

    \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1 b_1 + a_2 b_2 . \]

 

(В учебнике в качестве определения даётся одно, другое доказывается как теорема).

 

Свойства скалярного произведения:

    \[ 1)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a \]

(переместительное);

    \[ 2)(k\overrightarrow a ) \cdot \overrightarrow b = k(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b ) \]

(сочетательное);

    \[ 3)\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c \]

(распределительное);

    \[ 4)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow a ^2 = \left| {\overrightarrow a } \right|^2 \]

— такое произведение называется скалярным квадратом вектора a.

Из определения следует формула для нахождения угла между ненулевыми векторами:

    \[ \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}. \]

Поскольку модуль ненулевого вектора — положительное число, то знаменатель этой дроби — положительное число. Значит знак дроби зависит от знака числителя, то есть от знака скалярного произведения векторов.

Таким образом, знак косинуса угла между векторами совпадает со знаком скалярного произведения векторов.

Поскольку косинус острого угла равен положительному числу, косинус тупого угла равен отрицательному числу, а косинус 90° равен нулю, то

    \[ 1)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b > 0 \Leftrightarrow 0^o < \varphi < 90^o , \]

    \[ 2)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b < 0 \Leftrightarrow 90^o < \varphi < 180^o , \]

3)Свойство перпендикулярных векторов и признак перпендикулярности векторов:

    \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \varphi = 90^o , \]

то есть

    \[ \overrightarrow a \bot \overrightarrow b . \]

Рассмотрим применение скалярного произведения на практике.

№ 1. Найти скалярное произведение векторов

    \[1)\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8,\angle (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 120^o ;\]

    \[2)\overrightarrow a ( - 3;11),\overrightarrow b (4;2).\]

Решение:

    \[1)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \angle (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ),\]

подставляем данные из условия и значение cos120°:

    \[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 5 \cdot 8 \cdot ( - \frac{1}{2}) = - 20.\]

    \[2)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

Подставляем координаты векторов:

    \[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 3 \cdot 4 + 11 \cdot 2 = 10.\]

№ 2. Дано:

    \[\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 7,\angle (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 60^o .\]

Найти:

    \[1)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b ;\]

    \[2)(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow a ;\]

    \[3)(5\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow b .\]

Решение:

Подставляем данные условия и cos60°

    \[ 1)\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^o = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6;\]

    \[2)(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow a ^2 + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \]

    \[= \left| {\overrightarrow a } \right|^2 + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 4^2 + 6 = 22;\]

    \[3)(5\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow b = 5\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2 \cdot \overrightarrow b ^2 = \]

    \[= 5 \cdot \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2 \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|^2 = 5 \cdot 6 + 7^2 = 79.\]

№ 3. Даны векторы

    \[\overrightarrow a (x;4),\overrightarrow b (x; - 9).\]

При каком значении x эти векторы перпендикулярны?

Решение:

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдём скалярное произведение данных векторов и выясним, при каком значении переменной x оно равно нулю.

    \[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = x \cdot x + 4 \cdot ( - 9) = x^2 - 36,\]

    \[x^2 - 36 = 0\]

    \[x = \pm 6.\]

Ответ: -6 или 6.

№ 4. Найти косинус угла между векторами

    \[\overrightarrow a = 4\overrightarrow m + 3\overrightarrow n \]

и

    \[\overrightarrow b = 5\overrightarrow m - 2\overrightarrow n ,\]

если

    \[\left| {\overrightarrow m } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right| = 1,\]

    \[\overrightarrow m \bot \overrightarrow n .\]

Решение:

    \[\cos \angle (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}.\]

По свойствам скалярного произведения

    \[\overrightarrow m \bot \overrightarrow n , \Rightarrow \overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow m = 0,\]

    \[\overrightarrow m ^2 = \left| {\overrightarrow m } \right|^2 = 1^2 = 1,\]

    \[\overrightarrow n ^2 = \left| {\overrightarrow n } \right|^2 = 1^2 = 1.\]

Следовательно,

    \[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = (4\overrightarrow m + 3\overrightarrow n ) \cdot (5\overrightarrow m - 2\overrightarrow n ) = \]

    \[= 20\overrightarrow {m^2 } - 8\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n + 15\overrightarrow n \cdot \overrightarrow m - 6\overrightarrow {n^2 } = \]

    \[= 20 - 0 + 0 - 6 = 14.\]

Построим векторы

    \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\]

используя правило треугольника:

skalyarnoe-proizvedenie

Длины векторов можем найти по теореме Пифагора:

    \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {4^2 + 3^2 } = 5,\]

    \[\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {5^2 + 2^2 } = \sqrt {29} .\]

Итак,

    \[\cos \angle (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{14}}{{5\sqrt {29} }} = \frac{{14\sqrt {29} }}{{145}}.\]

Ответ:

    \[\frac{{14\sqrt {29} }}{{145}}\]

Добавить комментарий