Угол между векторами

Определение

1) Углом между векторами

ugol-mezhdu-vektorami-ab-i-ac

    \[ \overrightarrow {AB} \]

и

    \[ \overrightarrow {AC} \]

 

называется угол BAC:

    \[ \angle (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) = \angle BAC \]

2) Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало.

Угол между сонаправленными векторами равен 0°.

Поскольку нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, если один из векторов нулевой либо если оба вектора нулевые, то и в этом случае угол между векторами равен 0°.

Угол между равными векторами также равен 0°.

Угол между противоположно направленными векторами равен 180°.

Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы называются перпендикулярными.

Рассмотрим понятие угла между векторами на конкретных примерах.

 

Определить угол между векторами:

ugol-mezhdu-vektorami

1) Данные векторы не сонаправлены.

Выберем некоторую точку и от неё отложим векторы, равные данным.

 

Угол между ними равен α.

Значит, и угол между данными векторами равен α.

Пишут:

    \[ \angle (\overrightarrow a ;\overrightarrow b ) = \alpha \]

 

ugol-mezhdu-protivopolozhno-napravlennymi-vektorami

2) Данные векторы противоположно направлены.

Значит, угол между ними равен 180°:

    \[ \angle (\overrightarrow a ;\overrightarrow c ) = 180^o \]

Проиллюстрируем этот результат, отложив векторы, равные данным, от одной точки:

ugol-mezhdu-vektorami-180

α=180°.

 

ugol-mezhdu-sonapravlennymi-vektorami3) Поскольку данные векторы сонаправлены, угол между ними равен 0°:

    \[ \overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow d \Rightarrow \angle (\overrightarrow a ;\overrightarrow d ) = 0^{^o } \]

 

4)

ugol-mezhdu-vektorami-90

 

 

 

 

4) Отложим данные векторы от общего начала.

Так как угол между ними равен 90°:

    \[ \angle (\overrightarrow m ;\overrightarrow n ) = 90^o , \]

векторы перпендикулярны:

    \[ \overrightarrow m \bot \overrightarrow n . \]

Угол между векторами можно найти с помощью их скалярного произведения.

Добавить комментарий