Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора

    \[\overrightarrow {\rm{a}} (a_1 ;a_2 )\]

на число  k называется такой вектор

    \[k\overrightarrow {\rm{a}} ,\]

длина которого равна

    \[\left| k \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right|,\]

причем при k>0 этот вектор сонаправлен с вектором a, при k<0 — противоположно направлен:

    \[k > 0 \Rightarrow k\overrightarrow {\rm{a}} \uparrow \uparrow \overrightarrow a ,\]

    \[k < 0 \Rightarrow k\overrightarrow {\rm{a}} \uparrow \downarrow \overrightarrow a .\]

Например,

umnozhenie-vektora-na-chislo

Чтобы найти координаты вектора

    \[k\overrightarrow a ,\]

надо каждую координату вектора

    \[\overrightarrow a (a_1 ;a_2 )\]

умножить на число k:

    \[k \cdot \overrightarrow a = (\overrightarrow {ka_1 ;ka_2 } )\]

Примеры:

Дано:

    \[ \overrightarrow a (2; - 7), \]

    \[ \overrightarrow b ( - 5;0), \]

    \[ \overrightarrow c (10;9). \]

Найти:

    \[ 1)4\overrightarrow a ; \]

    \[ 2) - 3\overrightarrow {b;} \]

    \[ 3)\frac{2}{3}\overrightarrow {c;} \]

    \[ 4)5\overrightarrow a + 9\overrightarrow b ; \]

    \[ 5)6\overrightarrow b - 8\overrightarrow c . \]

Решение:

1) Чтобы найти координаты вектора

    \[4\overrightarrow a ,\]

надо умножить на 4 каждую координату вектора a:

    \[ 4\overrightarrow a = 4 \cdot (\overrightarrow {2; - 7} ) = (\overrightarrow {4 \cdot 2;4 \cdot ( - 7)} ) = (\overrightarrow {8; - 28} ). \]

2) Аналогично выполняем умножение вектора b на число -3:

    \[ - 3\overrightarrow b = - 3 \cdot (\overrightarrow { - 5;0} ) = (\overrightarrow { - 3 \cdot ( - 5); - 3 \cdot 0} ) = (\overrightarrow {15;0} ). \]

    \[ 3)\frac{2}{3}\overrightarrow c = \frac{2}{3} \cdot (\overrightarrow {10;9} ) = (\overrightarrow {\frac{2}{3} \cdot 10;\frac{2}{3} \cdot 9} ) = (\overrightarrow {\frac{{20}}{3};6} ). \]

    \[ 4)5\overrightarrow a + 9\overrightarrow b = 5 \cdot \overrightarrow {(2; - 7)} + 9 \cdot \overrightarrow {( - 5;0)} = \]

обычно умножение координат на число выполняют устно:

    \[ = \overrightarrow {(10; - 35)} + \overrightarrow {( - 45;0)} = \]

применяем правило сложения векторов

    \[ = \overrightarrow {(10 + ( - 45); - 35 + 0)} = \overrightarrow {( - 35; - 35)} . \]

    \[ 5)6\overrightarrow b - 8\overrightarrow c = 6 \cdot \overrightarrow {( - 5;0)} - 8 \cdot \overrightarrow {(10;9)} = \overrightarrow {( - 30;0)} - \overrightarrow {(80;72)} = \]

по правилу вычитания векторов

    \[ = \overrightarrow {( - 30 - 80;0 - 72)} = \overrightarrow {( - 110; - 72)} . \]

 

Свойства умножения вектора на число

Для любых векторов

    \[ \overrightarrow a (a_1 ;a_2 ),\overrightarrow b (b_1 ;b_2 ) \]

и чисел m и n верны равенства:

    \[ 1)m \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow a \cdot m; \]

    \[ 2)m \cdot \overrightarrow 0 = 0 \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow 0 ; \]

    \[ 3)(mn) \cdot \overrightarrow a = m(n\overrightarrow a ); \]

    \[ 4)(m + n) \cdot \overrightarrow a = m\overrightarrow a + n \cdot \overrightarrow a ; \]

    \[ 5)m(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = m\overrightarrow a + m\overrightarrow b . \]

Добавить комментарий