Коллинеарные векторы

Какие векторы называются коллинеарными?

Какими свойствами обладают коллинеарные векторы?

Определение

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

kollinearnye-vektoryНапример, все векторы

    \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d \]

коллинеарны между собой.

 

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы делятся на сонаправленные и противоположно направленные.

Определение

Векторы

    \[\overrightarrow {AB} \]

и

    \[\overrightarrow {CD} \]

называются сонаправленными (или одинаково направленными), если лучи AB и CD сонаправлены.

(Сонаправленность векторов записывают с помощью знака ↑↑).

Например,

sonapravlennye-vektory

    \[\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD} \]

 

 

Определение

Векторы

    \[\overrightarrow {AB} \]

и

    \[\overrightarrow {CD} \]

называются противоположно направленными, если лучи AB и CD противоположно направлены.

(Противоположное направление векторов обозначают знаком ↑↓).

Например,

protivopolozhno-napravlennye-vektory

    \[\overrightarrow {FK} \uparrow \downarrow \overrightarrow {ST} \]

 

Теорема

(Свойство коллинеарных векторов)

У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны

То есть если векторы

    \[\overrightarrow a (a_1 ;a_2 )\]

и

    \[\overrightarrow b (b_1 ;b_2 )\]

коллинеарны, то

    \[\frac{{a_1 }}{{b_1 }} = \frac{{a_2 }}{{b_2 }}.\]

 

Теорема

(Признак коллинеарных векторов)

Если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

То есть если

    \[\frac{{a_1 }}{{b_1 }} = \frac{{a_2 }}{{b_2 }},\]

то векторы

    \[\overrightarrow a (a_1 ;a_2 )\]

и

    \[\overrightarrow b (b_1 ;b_2 )\]

коллинеарны.

Причем

    \[\frac{{a_1 }}{{b_1 }} = \frac{{a_2 }}{{b_2 }} = \lambda \]

при λ>0 векторы сонаправлены

    \[\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow b ,\]

при λ<0 — противоположно направлены.

 

Теорема

(О разложении вектора по двум неколлинеарным векторам)

Если векторы

    \[\overrightarrow a \]

и

    \[\overrightarrow b \]

неколлинеарны, то любой вектор

    \[\overrightarrow c \]

можно разложить как

    \[\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b ,\]

где m и n — некоторые числа.

Такое разложение единственно.

Добавить комментарий