Равные векторы

В различных школьных учебниках определение равных векторов даётся по-разному.

В классическом учебнике Погорелова А. В. понятие равных векторов вводится с помощью параллельного переноса.

Определение 1

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.

(то есть существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого).

ravnye-vektoryНапример, изображенные на рисунке

    \[\overrightarrow {AB} \]

и

    \[\overrightarrow {CD} \]

— равные векторы.

Равенство векторов обозначают так:

    \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \]

Теорема

(Свойства равных векторов)

1) Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины.

2) Равные векторы имеют равные координаты.

3) От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Доказательство:

1) 1-е свойство вытекает непосредственно из определения равных векторов и свойств параллельного переноса.

2) Пусть дан вектор

    \[\overrightarrow {AB} \]

с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2).

По определению равных векторов, вектор

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } \]

равный данному, получен из

    \[\overrightarrow {AB} \]

параллельным переносом.

Если этот параллельный перенос задан формулами

    \[\left\{ \begin{array}{l} x^/ = x + m, \\ y^/ = y + n, \\ \end{array} \right.\]

то A′(x1+m; y1+n), B′(x2+m; y2+n).

Найдём координаты каждого из векторов:

    \[\overrightarrow {AB} (x_2 - x_1 ;y_2 - y_1 ),\]

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } ((x_2 + m) - (x_1 + m);(y_2 + n) - (y_1 + n)),\]

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } (x_2 + m - x_1 - m;y_2 + n - y_1 - n),\]

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } (x_2 - x_1 ;y_2 - y_1 ).\]

То есть координаты равных векторов

    \[\overrightarrow {AB} \]

и

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } \]

равны.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, координаты задают длину и направление вектора, но не фиксируют его.

3) Пусть даны вектор

    \[\overrightarrow {AB} \]

и точка C.
Существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку C — параллельный перенос на вектор

    \[\overrightarrow {AC} \]

При таком параллельном переносе вектор

    \[\overrightarrow {AB} \]

переходит в вектор

    \[\overrightarrow {CD.} \]

По определению равных векторов,

    \[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\]

Что и требовалось доказать.

На практике, если требуется отложить от некоторой точки вектор, равный данному, удобно это делать с помощью параллелограмма (если точка, от которой откладывается вектор, не лежит на прямой, содержащей этот вектор).

postroit-vektor-ravnyj-dannomuНапример,

вектор

    \[\overrightarrow {CD} ,\]

отложенный от точки C, равен вектору

    \[\overrightarrow {AB} \]

 

Теорема

(Признаки равенства векторов) 

1) Если векторы сонаправлены и имеют одинаковые длины, то они равны.

2) Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Доказательство:

1) priznaki-ravenstva-vektorovПусть векторы

    \[\overrightarrow {AB} \]

и

    \[\overrightarrow {CD} \]

сонаправлены и имеют одинаковые длины.

Параллельный перенос, который переводит точку A в точку C, совмещает луч CD с лучом AB (поскольку векторы одинаково направлены). А так как длины отрезков CD и AB равны, то точка D при этом совместится с точкой B. Таким образом, этот параллельный перенос вектор

    \[\overrightarrow {AB}\]

переводит в вектор

    \[\overrightarrow {CD}\]

По определению равных векторов,

    \[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\]

Что и требовалось доказать.

2) Пусть векторы

    \[\overrightarrow {AB} \]

и

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } \]

имеют равные координаты.
Если A(x1; y1), B(x2; y2), A′(x′1; y′1), B′(x′2; y′2), то по условию x2-x1=x′2-x′1,y2-y1=y′2-y′1.

Отсюда x′2=x2+x′1-x1, y′2 =y2+y′1-y1.

Параллельный перенос, заданный формулами

    \[\left\{ \begin{array}{l} x^/ = x - x_1 + x_1^/ , \\ y^/ = y - y_1 + y_1^/ , \\ \end{array} \right.\]

переводит точку A в точку A′, точку B — в точку B′, то есть совмещает векторы

    \[\overrightarrow {AB} \]

и

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } \]

А это означает, что

    \[\overrightarrow {A^/ B^/ } = \overrightarrow {AB} .\]

Что и требовалось доказать.

В учебнике Атанасяна Л. С. и др. дано другое определение равных векторов.

Определение 2

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Добавить комментарий