Длина вектора |

Определение

Длина вектора (или модуль вектора или абсолютная величина вектора) — это длина отрезка, изображающего вектор.

Для вектора

$\overrightarrow {AB}$

с началом в точке A(x₁; y₁) и концом в точке B(x₂; y₂) длину находим по формуле расстояния между точками:

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {(x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2 }$

Соответственно, для вектора

$\overrightarrow a (a_1 ;a_2 )$

длина (модуль)

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 }$

(то есть длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат).

Примеры.

Найти длину вектора:

$1)\overrightarrow a ( - 5;12);$

$2)\overrightarrow {AB} ,$

где A(5; -2), B(3; 4).
Решение:

$1)\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {( - 5)^2 + 12^2 } = \sqrt {25 + 144} = \sqrt {169} = 13.$

2) Если нужно найти длину вектора, зная координаты его начала и конца, удобнее сначала найти координаты вектора:

$\overrightarrow {AB} (3 - 5;4 - ( - 2))$

$\overrightarrow {AB} ( - 2;6).$

Теперь найдём его длину:

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {( - 2)^2 + 6^2 } = \sqrt {4 + 36} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} .$

Ответ:

$1)\left| {\overrightarrow a } \right| = 13;$

$2)\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2\sqrt {10} .$

Длина (модуль) нулевого вектора равна нулю.

Длина вектора