Длина вектора

Определение

Длина вектора (или модуль вектора или абсолютная величина вектора) — это длина отрезка, изображающего вектор.

Для вектора

    \[\overrightarrow {AB}\]

с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2) длину находим по формуле расстояния между точками:

    \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {(x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2 }\]


Соответственно, для вектора

    \[\overrightarrow a (a_1 ;a_2 )\]

длина (модуль)

    \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 } \]

(то есть длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат).

Примеры.

Найти длину вектора:

    \[1)\overrightarrow a ( - 5;12);\]

    \[2)\overrightarrow {AB} ,\]

где A(5; -2), B(3; 4).
Решение:

    \[1)\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {( - 5)^2 + 12^2 } = \sqrt {25 + 144} = \sqrt {169} = 13.\]

2) Если нужно найти длину вектора, зная координаты его начала и конца, удобнее сначала найти координаты вектора:

    \[\overrightarrow {AB} (3 - 5;4 - ( - 2))\]

    \[\overrightarrow {AB} ( - 2;6).\]

Теперь найдём его длину:

    \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {( - 2)^2 + 6^2 } = \sqrt {4 + 36} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} .\]

Ответ:

    \[1)\left| {\overrightarrow a } \right| = 13;\]

    \[2)\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2\sqrt {10} .\]

Длина (модуль) нулевого вектора равна нулю.

Добавить комментарий