Найти косинусы углов треугольника

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

kosinusy-uglov-treugolnika1) Угол A образован векторами

    \[\overrightarrow {AB} u\overrightarrow {AC} .\]

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

    \[\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}.\]

Найдём координаты векторов:

    \[\overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),\]

    \[\overrightarrow {AB} (6 - ( - 2);1 - 0),\]

    \[\overrightarrow {AB} (8;1).\]

    \[\overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),\]

    \[\overrightarrow {AC} ( - 3 - ( - 2); - 5 - 0),\]

    \[\overrightarrow {AC} ( - 1; - 5).\]

Находим скалярное произведение векторов:

    \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 8 \cdot ( - 1) + 1 \cdot ( - 5) = - 13.\]

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

    \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {8^2 + 1^2 } = \sqrt {65} ,\]

    \[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = \sqrt {26} .\]

Отсюда

    \[\cos A = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {26} }} = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 13} }} = \]

    \[= \frac{{ - 13}}{{13\sqrt {10} }} = - \frac{1}{{\sqrt {10} }} = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\]

2) Угол B образован векторами

    \[\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {BC} .\]

Таким образом,

    \[\cos B = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}.\]

Так как

    \[\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {AB} \]

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

    \[\overrightarrow {AB} (8;1), \Rightarrow \overrightarrow {BA} ( - 8; - 1),\]

    \[\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {65} .\]

    \[\overrightarrow {BC} (x_C - x_B ;y_C - y_B ),\]

    \[\overrightarrow {BC} ( - 3 - 6; - 5 - 1),\]

    \[\overrightarrow {BC} ( - 9; - 6).\]

    \[\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = - 8 \cdot ( - 9) + ( - 1) \cdot ( - 6) = 78.\]

    \[\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {( - 9)^2 + ( - 6)^2 } = \sqrt {117} .\]

    \[\cos B = \frac{{78}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {117} }} = \frac{{13 \cdot 6}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 13} }} =\]

    \[= \frac{{13 \cdot 6}}{{13 \cdot 3\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\]

3) Угол C образован векторами

    \[\overrightarrow {CA} u\overrightarrow {CB} ,\]

    \[\cos C = \frac{{\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|}}.\]

    \[\overrightarrow {AC} ( - 1; - 5), \Rightarrow \overrightarrow {CA} (1;5),\]

    \[\overrightarrow {BC} ( - 9; - 6), \Rightarrow \overrightarrow {CB} (9;6),\]

    \[\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {26} ,\]

    \[\left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {117} ,\]

    \[\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = 1 \cdot 9 + 5 \cdot 6 = 39.\]

    \[\cos C = \frac{{39}}{{\sqrt {26} \cdot \sqrt {117} }} = \frac{{13 \cdot 3}}{{\sqrt {2 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 13} }} = \]

    \[= \frac{{13 \cdot 3}}{{13 \cdot 3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\]

Ответ:

    \[\cos A = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}},\cos B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5},\cos C = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\]

ΔABC — тупоугольный.

Добавить комментарий