Сторона и угол ромба

Если известны сторона и угол ромба, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.

1) Сторона ромба равна a, а острый угол — α.

storona-i-ugol-rombaAD=AB=a, ∠A=α.

Площадь ромба равна 

    \[S = {a^2}\sin \alpha ,\]

периметр — P=4a.

Проведём диагонали ромба. AC ∩ BD=O.

По свойствам ромба, диагонали являются биссектрисами его углов, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

storona-i-ostryj-ugol-rombaИз прямоугольного треугольника AOB AO=AB∙sin∠BAO, BO=AB∙cos∠BAO, AC=2∙AO, BD=2∙BO,

    \[AC = 2a\cos \frac{\alpha }{2},BD = 2a\sin \frac{\alpha }{2}.\]

 

dany-storona-i-ugol-romba-najti-vysotuПроведём высоту BH.

Из прямоугольного треугольника ABH BH=AB∙sin∠A,

    \[BH = h = a\sin \alpha .\]

Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба:

    \[r = \frac{1}{2}h = \frac{1}{2}a\sin \alpha .\]

2) Сторона ромба рана a, а тупой угол — β.

storona-i-bolshij-ugol-rombaAD=AB=a, ∠B=β.

Площадь ромба равна

    \[S = {a^2}\sin \beta .\]

Из прямоугольного треугольника ABO AO=AB∙sin∠ABO, BO=AB∙cos∠ABO,

    \[AO = a\sin \frac{\beta }{2},AC = 2a\sin \frac{\beta }{2},\]

    \[BO = a\cos \frac{\beta }{2},BD = 2a\cos \frac{\beta }{2}.\]

∠A+∠B=180º (как сумма внутренних односторонних углов при AD∥BC и секущей AB).

Отсюда sin∠A=sin(180º-∠B)=sin∠B=sinβ.

Из прямоугольного треугольника ABH высота равна BH=AB∙sin∠A=a∙sinβ, радиус вписанной окружности -

    \[r = \frac{1}{2}h = \frac{1}{2}a\sin \beta .\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>