Угол, лежащий напротив диагонали ромба

Если известны угол, лежащий напротив диагонали ромба, и эта диагональ, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.

1) Большая диагональ ромба равна D. Напротив неё лежит угол β.

ugol-lezhashchij-naprotiv-diagonali-rombaБольшая диагональ AC=D, лежащий напротив неё угол ∠ABC=β (угол ромба, лежащий против большей диагонали — тупой).

Проведём вторую диагональ ромба BD, BD ∩ AC=O.

ugol-lezhashchij-protiv-diagonali-rombaПо свойствам ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, являются биссектрисами углов ромба и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, в прямоугольном треугольнике ABO

∠ABO=β/2, AO=D/2. По определению синуса,

    \[\sin \angle ABO = \frac{{AO}}{{AB}}, \Rightarrow AB = \frac{{AO}}{{\sin \angle ABO}},\]

    \[AB = \frac{{\frac{D}{2}}}{{\sin \frac{\beta }{2}}} = \frac{D}{{2\sin \frac{\beta }{2}}}.\]

Зная сторону ромба, можем найти его периметр:

    \[{P_{ABCD}} = 4AB,{P_{ABCD}} = \frac{{4D}}{{2\sin \frac{\beta }{2}}} = \frac{{2D}}{{\sin \frac{\beta }{2}}}.\]

По определению котангенса,

    \[ctg\angle ABO = \frac{{BO}}{{AO}}, \Rightarrow BO = AO \cdot ctg\angle ABO,\]

    \[BO = \frac{D}{2}ctg\frac{\beta }{2}, \Rightarrow BD = 2 \cdot \frac{D}{2}ctg\frac{\beta }{2} = D \cdot ctg\frac{\beta }{2}.\]

Площадь ромба может быть найдена как половина произведения его диагоналей:

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD, \Rightarrow \]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot D \cdot ctg\frac{\beta }{2} = \frac{1}{2} \cdot {D^2}ctg\frac{\beta }{2}.\]

Другой вариант — произведение квадрата стороны на синус угла:

    \[{S_{ABCD}} = A{B^2} \cdot \sin \angle ABC,\]

    \[{S_{ABCD}} = {(\frac{D}{{2\sin \frac{\beta }{2}}})^2} \cdot \sin \beta .\]

(Упростив эту формулу, получим предыдущую).

po-bolshemu-uglu-romba-i-diagonali-najtiВысоту ромба можно найти несколькими способами. Например, через площадь. С одной стороны, площадь ромба

    \[{S_{ABCD}} = A{B^2} \cdot \sin \angle ABC,\]

с другой —

    \[{S_{ABCD}} = AD \cdot BH.\]

Приравняв правые части формул:

    \[AD \cdot BH = A{B^2} \cdot \sin \angle ABC\]

и разделив обе части равенства на AB (AD=AB), получим

    \[BH = AB \cdot \sin \angle ABC.\]

(Можно найти BH непосредственно из прямоугольного треугольника ABH по определению синуса, ∠BAH=180º-β, sin∠BAH=sin(180º-β)=sinβ).

    \[BH = \frac{{D \cdot \sin \beta }}{{2\sin \frac{\beta }{2}}} = \frac{{D \cdot 2\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\beta }{2}}}{{2\sin \frac{\beta }{2}}} = D\cos \frac{\beta }{2}.\]

Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба

    \[r = \frac{1}{2}h,r = \frac{1}{2} \cdot D\cos \frac{\beta }{2} = \frac{D}{2}\cos \frac{\beta }{2}.\]

2) Меньшая диагональ ромба равна d. Напротив неё лежит угол α.

ugol-naprotiv-menshej-diagonali-rombaАналогично, из прямоугольного треугольника ABO

    \[AB = \frac{d}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}},\]

    \[AO = \frac{d}{2}ctg\frac{\alpha }{2},AC = d \cdot ctg\frac{\alpha }{2},\]

    \[{P_{ABCD}} = \frac{{2d}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}},\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot {d^2}ctg\frac{\alpha }{2},\]

    \[BH = \frac{{d\sin \alpha }}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{d \cdot 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}} = d\cos \frac{\alpha }{2},\]

    \[r = \frac{1}{2}h,r = \frac{d}{2}\cos \frac{\alpha }{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>