Диагонали ромба равны D и d

Если известно, что диагонали ромба равны D и d, то, пользуясь свойствами ромба, можно найти остальные его элементы.

diagonali-romba-ravnyДаны диагонали ромба: большая диагональ равна D, меньшая — d.

Найти сторону ромба, его периметр и площадь, углы, высоту, радиус вписанной окружности.

Решение:

В ромбе ABCD AC=D, BD=d.

По свойству ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба.

Пусть AC ∩ BD=O. Тогда в прямоугольном треугольнике AOB

    \[AO = \frac{1}{2}AC = \frac{D}{2},BO = \frac{1}{2}BD = \frac{d}{2},\]

    \[\angle ABO = \frac{1}{2}\angle ABC,\angle BAO = \frac{1}{2}\angle BAD.\]

По теореме Пифагора

    \[A{B^2} = A{O^2} + B{O^2},\]

    \[A{B^2} = {(\frac{D}{2})^2} + {(\frac{d}{2})^2} = \frac{{{D^2} + {d^2}}}{4}.\]

Таким образом, сторона ромба через его диагонали может быть найдена как

    \[AB = \sqrt {\frac{{{D^2} + {d^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}{2}.\]

Периметр ромба

    \[P = 4AB = 4 \cdot \frac{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}{2} = 2\sqrt {{D^2} + {d^2}} .\]

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, то есть,

    \[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD, \Rightarrow S = \frac{{Dd}}{2}.\]

По определению тангенса,

    \[tg\angle BAO = \frac{{BO}}{{AO}},\]

    \[tg\angle BAO = \frac{{\frac{d}{2}}}{{\frac{D}{2}}} = \frac{d}{D}, \Rightarrow \angle BAO = arctg\frac{d}{D}.\]

Аналогично,

    \[tg\angle ABO = \frac{{AO}}{{BO}},\]

    \[tg\angle ABO = \frac{{\frac{D}{2}}}{{\frac{d}{2}}} = \frac{D}{d}, \Rightarrow \angle ABO = arctg\frac{D}{d}.\]

Высоту ромба можно найти, например, через его площадь.

С одной стороны,

    \[S = \frac{1}{2}AC \cdot BD,\]

с другой —

    \[S = AD \cdot BH,\]

где BH — высота ромба. Приравняв правые части равенств, получаем:

    \[AD \cdot BH = \frac{1}{2}AC \cdot BD, \Rightarrow BH = \frac{{AC \cdot BD}}{{2AD}},\]

    \[BH = \frac{{Dd}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}{2}}} = \frac{{Dd}}{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}.\]

Таким образом, высота ромба через его диагонали может быть найдена по формуле

    \[h = \frac{{Dd}}{{\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}.\]

Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба, значит,

    \[r = \frac{1}{2}h = \frac{{Dd}}{{2\sqrt {{D^2} + {d^2}} }}.\]

Запоминать эти формулы не нужно. При решении конкретной задачи нужно провести аналогичные рассуждения для конкретных данных.

Например, если диагонали ромба равны 12 и 18, сторона ромба

    \[A{B^2} = {(\frac{{12}}{2})^2} + {(\frac{{16}}{2})^2} = 100, \Rightarrow AB = 10\]

и т.д.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>