Синус 18 градусов

Выясним, чему равен синус 18 градусов (sin 18º).

sinus-18-gradusov

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине 36º и углах при основании по 72º.

Биссектриса AF делит его на два равнобедренных треугольника: ABC  с основанием AC и FAC с основанием FC (по признаку равнобедренного треугольника).

Если AC=a, тогда BF=AF=AC=a.

Обозначим FC=x, тогда AB=BC=a+x.

Из треугольника ABC по свойству биссектрисы треугольника:

    \[\frac{{AB}}{{BF}} = \frac{{AC}}{{FC}}, \Rightarrow \frac{{a + x}}{a} = \frac{a}{x}\]

Отсюда по основному свойству пропорции

    \[(a + x)x = {a^2}\]

Приходим к квадратному уравнению

    \[{x^2} + ax - {a^2} = 0\]

Здесь a=1, b=a, c=-a².

    \[D = {b^2} - 4ac = {a^2} - 4 \cdot 1 \cdot {( - a)^2} = 5{a^2}\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - a \pm \sqrt {5{a^2}} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - a \pm a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{a( - 1 \pm \sqrt 5 )}}{2}\]

Условию x>0 удовлетворяет только корень

    \[x = \frac{{a(\sqrt 5  - 1)}}{2}.\]

    \[AB = {a^{\backslash 2}} + \frac{{a(\sqrt 5  - 1)}}{2} = \frac{{2a + a(\sqrt 5  - 1)}}{2} = \]

    \[ = \frac{{a(2 + \sqrt 5  - 1)}}{2} = \frac{{a(\sqrt 5  + 1)}}{2}.\]

sin-18Проведём в треугольнике ABC высоту BD.

По свойству равнобедренного треугольника, BD является также его биссектрисой и медианой, то есть

    \[AD = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2},\]

    \[\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC = {18^o}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD.

По определению синуса,

    \[\sin \angle ABD = \frac{{AD}}{{AB}}\]

 

    \[\sin {18^o} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a(\sqrt 5  + 1)}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5  + 1}} = \frac{{1 \cdot (\sqrt 5  - 1)}}{{(\sqrt 5  + 1)(\sqrt 5  - 1)}} = \]

    \[ = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{5 - 1}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{4}.\]

Вывод:

    \[\sin {18^o} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{4}.\]

Добавить комментарий