Косинус 36 градусов

Косинус 36 градусов (cos 36º) может быть найден с использованием различных приёмов. Применим один из них.

cos 36

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом ∠B=36º при вершине. и по 72º  при основании.

Пусть AC=a.

Биссектриса AF разбивает угол BAC на ∠BAF=∠CAF=36º.

Значит, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AB, треугольник AFC — равнобедренный с основанием FC (по признаку равнобедренного треугольника).

Следовательно, BF=AF=AC=a.

Треугольники ABC и CAF подобны ( по углу между боковыми сторонами). Следовательно,

    \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CF}}\]

Пусть CF=x, тогда AB=BC=a+x.

    \[\frac{{a + x}}{a} = \frac{a}{x}\]

Отсюда

    \[(a + x)x = {a^2}\]

    \[{x^2} + ax - {a^2} = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно переменной x.

a=1, b=a, c=-a².

    \[D = {b^2} - 4ac = {a^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - {a^2}) = 5{a^2}\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - a \pm a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{a( - 1 \pm \sqrt 5 )}}{2}\]

Условию x>0 удовлетворяет только один корень

    \[x = \frac{{a( - 1 + \sqrt 5 )}}{2} = \frac{{a(\sqrt 5  - 1)}}{2}\]

Из треугольника AFC по теореме синусов

    \[\frac{{CF}}{{\sin {{36}^o}}} = \frac{{AC}}{{\sin {{72}^o}}}\]

Так как sin 2α =2∙sinα∙cosα, sin 72º=sin36º∙cos36º,

    \[\frac{{CF}}{{\sin {{36}^o}}} = \frac{{AC}}{{2\sin {{36}^o}\cos {{36}^o}}}\]

    \[CF = \frac{{AC}}{{2\cos {{36}^o}}}, \Rightarrow \cos {36^o} = \frac{{AC}}{{2CF}}\]

    \[\cos {36^o} = \frac{a}{{2 \cdot \frac{{a(\sqrt 5  - 1)}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5  - 1}} = \frac{{1 \cdot (\sqrt 5  + 1)}}{{(\sqrt 5  - 1)(\sqrt 5  + 1)}} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4}.\]

Если не использовать формулу двойного угла, путь немного длиннее.

Из треугольника AFC по тереме косинусов

    \[C{F^2} = A{F^2} + A{C^2} - 2 \cdot AF \cdot AC \cdot \cos \angle FAC\]

    \[\cos \angle FAC = \frac{{A{F^2} + A{C^2} - C{F^2}}}{{2 \cdot AF \cdot AC}}\]

    \[\cos {36^o} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{(\frac{{a(\sqrt 5  - 1)}}{2})}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \]

    \[ = \frac{{{a^2}({2^{\backslash 4}} - \frac{{{{(\sqrt 5  - 1)}^2}}}{4})}}{{2{a^2}}} = \frac{{8 - (5 - 2\sqrt 5  + 1)}}{{2 \cdot 4}} = \]

    \[ = \frac{{2 + 2\sqrt 5 }}{8} = \frac{{2(1 + \sqrt 5 )}}{8} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4}.\]

Вывод:

    \[\cos {36^o} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4}\]

Добавить комментарий