Если в треугольнике два угла равны

Теорема (Признак равнобедренного треугольника)

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

esli v treugolnike dva ugla ravnyi

 

Дано:

∆ ABC,

A=B

 

Доказать:

∆ ABC — равнобедренный.

 

Доказательство:

dva ugla treugolnika ravnyi

 

 

Проведем биссектрису CF.

 

 

 

 

 

 

priznak ravnobedrennogo treugolnika

 

 

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

1) ACF=BCF (так как CF — биссектриса (по построению))

2) CF — общая сторона

 

 

A=B (по условию)

Сумма углов треугольника равна 180º.

В треугольнике ACF

AFC=180º — (A+ACF).

В треугольнике BCF

BCF =180º — (B+BCF).

Из 180º вычли сумму равных углов. Получили равные углы:

esli dva ugla treugolnika ravnyi

Таким образом, имеем:

3)AFC=BFC.

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

 

Данный признак равнобедренного треугольника можно доказать другими способами.

2 способ

Рассмотрим треугольники ABC и BAC.

(это — два разных треугольника. Подробнее — смотрите «Два треугольника равны«)

1) AB=BA (по условию)

2) A=B (по условию)

3) B =A (по условию)

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Вывод: ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB.

 

3 способ

По соотношениям между углами треугольника и противолежащими сторонами, в треугольнике против б’ольшего угла лежит б’ольшая сторона. Следствие: против равных углов лежат равные стороны. Таким образом,  если в треугольнике два угла равны, то лежащие напротив этих углов стороны тоже равны, а значит, треугольник — равнобедренный.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>