Площадь правильного многоугольника

Найдём площадь правильного многоугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей и через его сторону.

Любой правильный многоугольник вписан в окружность и описан около окружности. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают и называются центром правильного многоугольника.

ploshchad-pravilnogo-mnogougolnikaСоединив центр правильного n-угольника

    \[{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...{A_{n - 1}}{A_n}\]

со всеми его вершинами, получим n равнобедренных треугольников.

Основание каждого такого треугольника равно стороне многоугольника, боковые стороны равны радиусу описанной около многоугольника окружности угол при вершине — центральному углу правильного многоугольника

    \[{A_1}{A_2} = a,\]

    \[O{A_1} = O{A_2} = R,\]

    \[\angle {A_1}O{A_2} = \frac{{{{360}^o}}}{n}\]

Так как площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, 

    \[{S_{\Delta {A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2} \cdot {A_1}O \cdot {A_2}O \cdot \sin \angle {A_1}O{A_2}.\]

Отсюда

    \[{S_{\Delta {A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2} \cdot {R^2} \cdot \sin \frac{{{{360}^o}}}{n}.\]

Поскольку многоугольник состоит из n таких треугольников, формула площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности:

    \[S = \frac{1}{2} \cdot {R^2} \cdot n \cdot \sin \frac{{{{360}^o}}}{n}.\]

ploshchad-pravilnogo-mnogougolnika-formulaПроведём в треугольнике A1OA2 высоту OF. Её длина равна радиусу вписанной в правильный n-угольник окружности:

    \[OF = r.\]

По свойству равнобедренного треугольника OF является также его биссектрисой и медианой:

    \[\angle {A_1}OF = \frac{1}{2}\angle {A_1}O{A_2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{360}^o}}}{n} = \frac{{{{180}^o}}}{n},\]

    \[{A_1}F = \frac{1}{2}{A_1}{A_2}.\]

Из прямоугольного треугольника A1OF по определению тангенса

    \[tg\angle {A_1}OF = \frac{{{A_1}F}}{{OF}},\]

откуда

    \[{A_1}F = OF \cdot tg\angle {A_1}OF = r \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}.\]

Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне,

    \[{S_{\Delta {A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2} \cdot {A_1}{A_2} \cdot OF = {A_1}F\cdot OF,\]

    \[{S_{\Delta {A_1}O{A_2}}} = r \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n} \cdot r = {r^2} \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}.\]

Площадь

    \[{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...{A_{n - 1}}{A_n}\]

равна сумме n таких площадей.

Таким образом, формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:

    \[S = {r^2} \cdot n \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}.\]

Из треугольника A1OF

    \[OF = \frac{{{A_1}F}}{{tg\angle {A_1}OF}} = \frac{{\frac{1}{2}{A_1}{A_2}}}{{tg\angle {A_1}OF}} = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}.\]

Следовательно,

    \[{S_{\Delta {A_1}O{A_2}}} = {A_1}F \cdot OF = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}} = \frac{{{a^2}}}{{4tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}.\]

Поскольку многоугольник состоит из n равных треугольников, формула площади правильного многоугольника через его сторону:

    \[S = \frac{{{a^2} \cdot n}}{{4tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}.\]

Добавить комментарий