Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

srednyaya-liniya-treugolnika-i-ploshchadI. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

    \[S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a}\]

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

    \[m = \frac{1}{2}a,\]

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

    \[S = m \cdot {h_a}\]

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

srednyaya-liniya-treugolnika-ploshchadЕсли MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

    \[MN = \frac{1}{2}AC,\]

то 

    \[\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NB}}{{CB}} = \frac{1}{2}.\]

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то 

    \[\frac{{{S_{\Delta MBN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4},\]

то есть

    \[{S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}}.\]

Вывод:

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

    \[{S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10(c{m^2})\]

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

    \[{S_{AMNC}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30(c{m^2}),\]

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Добавить комментарий