Средняя линия треугольника и площадь |

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

srednyaya-liniya-treugolnika-i-ploshchad I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

$S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a}$

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

$m = \frac{1}{2}a,$

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

$S = m \cdot {h_a}$

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

srednyaya-liniya-treugolnika-ploshchad Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

$MN = \frac{1}{2}AC,$

то

$\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NB}}{{CB}} = \frac{1}{2}.$

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

$\frac{{{S_{\Delta MBN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4},$

то есть

${S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}}.$

Вывод:

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

${S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10(c{m^2})$

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

${S_{AMNC}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30(c{m^2}),$

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Средняя линия треугольника и его площадь