Площади подобных треугольников

Утверждение

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

ploshchadi-podobnyh-treugolnikovДано:

    \[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\]

Доказать:

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}\]

Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A.\]

Аналогично,

    \[{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2} \cdot {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin \angle {A_1}.\]

Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,

    \[\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = k,\]

то есть

    \[{A_1}{B_1} = k \cdot AB,{B_1}{C_1} = k \cdot BC.\]

Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin \angle {A_1}}}{{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A}} = \]

    \[ = \frac{{k \cdot AB \cdot k \cdot BC\sin \angle A}}{{AB \cdot AC \cdot \sin \angle A}} = {k^2}.\]

Так как 

    \[k = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}},\]

то 

    \[{k^2} = {(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(\frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2},\]

то есть

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}  = {(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(\frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2} = \]

    \[ = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}}.\]

Что и требовалось доказать.

Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>