Площади подобных треугольников

Утверждение

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

ploshchadi-podobnyh-treugolnikovДано:

    \[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\]

Доказать:

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}\]

Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A.\]

Аналогично,

    \[{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2} \cdot {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin \angle {A_1}.\]

Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,

    \[\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = k,\]

то есть

    \[{A_1}{B_1} = k \cdot AB,{B_1}{C_1} = k \cdot BC.\]

Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin \angle {A_1}}}{{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A}} = \]

    \[ = \frac{{k \cdot AB \cdot k \cdot BC\sin \angle A}}{{AB \cdot AC \cdot \sin \angle A}} = {k^2}.\]

Так как 

    \[k = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}},\]

то 

    \[{k^2} = {(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(\frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2},\]

то есть

    \[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}  = {(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(\frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2} = \]

    \[ = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}}.\]

Что и требовалось доказать.

Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

Добавить комментарий