Утверждение
Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Дано:
![\[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7da6e45ad5db5ee63075435dfd020c07_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказать:
![\[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efc33bbdd2d747c362a972225ab601ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:
![\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A.\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f38a14747412ee09565cdaf807a43d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Аналогично,
![\[{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2} \cdot {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin \angle {A_1}.\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3f578880ed04ef0e00cd6b8eb428951_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,
![\[\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = k,\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37496de4b28f7f0427dd459adb1f4320_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
то есть
![\[{A_1}{B_1} = k \cdot AB,{B_1}{C_1} = k \cdot BC.\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d0a0df87f76b2a58bde7b3c0e17e252_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:
![\[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{C_1} \cdot \sin \angle {A_1}}}{{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A}} = \]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-daf1f43b02844288591960c5e68ecc2a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{k \cdot AB \cdot k \cdot AC\sin \angle A}}{{AB \cdot AC \cdot \sin \angle A}} = {k^2}.\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2899992983bb9456820b1e95bb05cc2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так как
![\[k = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}},\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-990a9e4d408a44c35f7689c4e7486f32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
то
![\[{k^2} = {(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(\frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2},\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f3d2af57dbd5db0a1e7ba89fd912a9d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
то есть
![\[\frac{{{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(\frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2} = \]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abf1cd2c9ee417bc88d6d6bf80d42248_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = \frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = \frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}}.\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29c27236e41055e92ef7102e6417cac6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Что и требовалось доказать.
Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.