В треугольник вписан параллелограмм

Утверждение

Если в треугольник вписан параллелограмм таким образом, что один угол у них общий, а три другие вершины параллелограмма лежат на сторонах треугольника, то параллелограмм отсекает два треугольника, подобных данному.

v-treugolnik-vpisan-parallelogrammДано: ∆ ABC, ADEF — параллелограмм,

D∈AB, E∈BC, F∈AC.

Доказать:

    \[\Delta DBE \sim \Delta ABC,\]

    \[\Delta FEC \sim \Delta ABC.\]

v-treugolnik-abc-vpisan-parallelogrammДоказательство:

1) Рассмотрим треугольники DBE и ABC.

У них:

Следовательно,

    \[\Delta DBE \sim \Delta ABC\]

(по двум углам).

2) Аналогично, по двум углам подобны треугольники FEC и ABC.

У них:

  • ∠C — общий,
  • ∠FEC=∠ABC (как соответственные при AB ∥ FE и секущей BC).

3) Кроме того, треугольники DBE и FEC также подобны (по двум углам либо как подобные одному и тому же треугольнику).

Что и требовалось доказать.

Задача

parallelogramm-v-treugolnikeДано: ∆ ABC, ADEF- параллелограмм,

AC=30 см, AB=20 см,

    \[{S_{\Delta FEC}}:{S_{\Delta DBE}}:{S_{ADEF}} = 4:9:12\]

Найти: DE, EF.

Решение:

По доказанному,

    \[\Delta FEC \sim \Delta DBE \sim \Delta ABC,\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta FEC}} + {S_{\Delta DBE}} + {S_{ADEF}} = \]

    \[ = 4k + 9k + 12k = 25k,\]

(здесь k — коэффициент пропорциональности), откуда

    \[{S_{\Delta FEC}}:{S_{\Delta DBE}}:{S_{\Delta ABC}} = 4:9:25.\]

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, следовательно,

    \[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta DBE}}}} = \frac{{A{C^2}}}{{D{E^2}}} = \frac{{25}}{9}, \Rightarrow \frac{{AC}}{{DE}} = \frac{5}{2},\]

    \[\frac{{30}}{{DE}} = \frac{5}{2},DE = \frac{{30 \cdot 2}}{5} = 12cm.\]

    \[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta FEC}}}} = \frac{{A{B^2}}}{{F{E^2}}} = \frac{{25}}{4}, \Rightarrow \frac{{AB}}{{FE}} = \frac{5}{2},\]

    \[\frac{{AB}}{{FE}} = \frac{5}{2},FE = \frac{{20 \cdot 2}}{5} = 8cm.\]

Ответ: 12 см, 8 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>