В треугольник вписан ромб

Утверждение

Если в треугольник вписан ромб так, что один угол у них — общий, а противоположная ему вершина ромба принадлежит третьей стороне треугольника, то ромб отсекает два треугольника, подобные данному.

v-treugolnik-vpisan-rombДано: ∆ ABC,

AMNK — ромб, N∈BC.

Доказать:

    \[\Delta ABC \sim \Delta MBN,\]

    \[\Delta ABC \sim \Delta KNC.\]

Доказательство:

u-romba-i-treugolnika-obshchij-ugolРассмотрим треугольники ABC и MBN.

1) ∠B — общий;

2) ∠A=∠NMB (как соответственные при AK ∥ MN и секущей AB).

Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны (по двум углам).

Аналогично, в треугольниках ABC и KNC

1)∠C — общий;

2) ∠A=∠CKN (как соответственные при AM ∥ KN и секущей AC) и

    \[\Delta ABC \sim \Delta KNC.\]

Заметим, что треугольники MBN и KNC также подобны (как треугольники, подобные одному и тому же треугольнику ABC, либо по двум углам).

Что и требовалось доказать.

Задача.

В треугольник ABC вписан ромб AMNK так, что угол A у них общий, а вершина N принадлежит стороне BC. Найти сторону ромба, если AB=10 см, AC=15 см.

Решение:

Треугольники ABC и MBN подобны (по доказанному выше).

Следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны:

    \[\frac{{AB}}{{BM}} = \frac{{AC}}{{MN}}\]

Пусть сторона ромба равна x см: MN=AN=x см, тогда AM=(10-x) см.

    \[\frac{{10}}{{10 - x}} = \frac{{15}}{x}\]

По основному свойству пропорции

    \[10x = 15 \cdot (10 - x)\_\_\_\left| {:5} \right.\]

    \[2x = 3 \cdot (10 - x)\]

    \[2x = 30 - 3x\]

    \[5x = 30\]

    \[x = 6\]

Следовательно, сторона ромба равна 6 см.

Ответ: 6 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>