Диагонали трапеции пересекаются в точке

Диагонали трапеции пересекаются в точке. Что можно сказать об образовавшихся  треугольниках, прилежащих к основаниям?

Утверждение.

Если диагонали трапеции пересекаются в точке, то образованные при этом прилежащие к основаниям треугольники подобны.

diagonali-trapecii-peresekayutsya-v-tochkeДано:  ABCD — трапеция,

    \[AD\parallel BC,\]

    \[AC \cap BD = O.\]

Доказать:

    \[\Delta AOD \sim \Delta COB.\]

Доказательство:

diagonali-trapecii-tochkoj-peresecheniyaВ треугольниках AOD и COB

1) ∠AOD=∠COB (как вертикальные)

2) ∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Что и требовалось доказать.

Задача.

Одна из диагоналей трапеции равна 14 см и делит другую диагональ на отрезки длиной  см и см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.

diagonal-trapecii-delitДано: ABCD — трапеция,

    \[AD\parallel BC,\]

    \[AC \cap BD = O\]

AC=14 см, DO=20 см, BO=8 см.

Найти: AO, CO.

Решение:

    \[\Delta AOD \sim \Delta COB\]

(доказали в утверждении выше).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

    \[\frac{{AO}}{{CO}} = \frac{{DO}}{{BO}}\]

Пусть CO=x см, тогда AO=(14-x) см. Отсюда

    \[\frac{{14 - x}}{x} = \frac{{20}}{8}\]

    \[20x = 8(14 - x)\_\_\_\left| {:4} \right.\]

    \[5x = 2(14 - x)\]

    \[5x = 28 - 2x\]

    \[7x = 28\]

    \[x = 4\]

Значит, CO=4 см, AO=14-4=10 см.

Ответ: 4 см, 10 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>