Прямая, параллельная стороне треугольника

Утверждение

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.

pryamaya-parallelnaya-storone-treugolnikaДано: ∆ ABC,

    \[m\parallel AC,m \cap AB = {A_1},\]

    \[m \cap BC = {C_1}\]

Доказать:

    \[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}.\]

Доказательство:

pryamaya-otsekaet-podobnyj-treugolnikВ треугольниках ABC и A1BC1

1) ∠BAC=∠BA1C1 (как соответственные при AC ∥ A1C1 и секущей AB)

2) ∠B — общий.

Следовательно, треугольники подобны:

    \[\Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\]

(по двум углам).

Что и требовалось доказать.

Задача.

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции пересекаются в точке M. Большее основание трапеции AD равно 24 см, МС=5 см, CD=7см. Найдите меньшее основание трапеции.

prodolzheniya-bokovyh-storon-trapeciiДано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

    \[AB \cap CD = M,\]

AD=24 см, BM=12 см, AB=6 см

Найти: BC.

Решение:

В треугольнике AMD BC — прямая, параллельная стороне AD и пересекающая две другие его стороны AM и DM. Следовательно, она отсекает от него подобный треугольник: 

    \[\Delta BMC \sim \Delta AMD.\]

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

    \[\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{AD}}\]

AM=AB+MB=6+12=18 см.

    \[\frac{{12}}{{18}} = \frac{{BC}}{{24}}\]

    \[BC = \frac{{12 \cdot 24}}{{18}} = 16(cm).\]

Ответ: 16 см.

Замечание.

Если бы в задаче вместо AD и BC была задействована зависимость между MC и MD, достаточно было бы применить обобщенную теорему Фалеса для угла AMD:

    \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MC}}{{MD}}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>