Синус 36 градусов

Синус 36 градусов (sin 36°) можно найти через cos 36°.

По основному тригонометрическому тождеству

    \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]

Отсюда

    \[{\sin ^2}{36^o} = 1 - {\cos ^2}{36^o}\]

Подставляя значение косинуса 36°, получаем

    \[{\sin ^2}{36^o} = 1 - {(\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4})^2} = {1^{\backslash 16}} - \frac{{5 + 2\sqrt 5 + 1}}{{16}} = \]

    \[ = \frac{{16 - (6 + 2\sqrt 5 )}}{{16}} = \frac{{10 - 2\sqrt 5 }}{{16}} = \frac{{2(5 - \sqrt 5 )}}{{16}} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}.\]

Следовательно,

    \[\sin {36^o} = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}} = \frac{{\sqrt {5 - \sqrt 5 } }}{{2\sqrt 2 }}.\]

Если не сокращать дробь, получим формулу синуса 36° без иррациональности в знаменателе:

    \[\sin {36^o} = \sqrt {\frac{{10 - 2\sqrt 5 }}{{16}}} = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{4}.\]

Добавить комментарий