Самые известные признаки прямоугольного треугольника являются обратными теоремами к двум его свойствам.
Признаки прямоугольного треугольника.
1. (Теорема, обратная теореме Пифагора)
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный.
Утверждение
Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.
Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является гипотенузой.
Теорема
(обратная теореме Пифагора)
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный.
Дано: ∆ABC,
![\[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6081544b58ec23f5e81215b0ca651aa2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказать: ∠C=90º
Доказательство:
Задача
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найти AB, если AF=24, BF=10.
Решение основано на свойстве биссектрис при боковой стороне трапеции, которое в ходе решения задачи надо доказать.
Дано:ABCD — трапеция, AD∥BC, AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, AF∩BF=F, AF=24, BF=10
Найти: AB
Задача
Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.
Задача
Четырехугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60º. Найти радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Дано: ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность (O;R), AB=40, CD=10, AC∩BD=K, ∠AKB=60º
Найти: R
Решение:
Утверждение
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
Дано: окружность (O; R),
AB и CD — хорды, AB∩CD=F
Доказать:
![\[\angle AFD = \frac{1}{2}( \cup AD + \cup BC)\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31c90f633057fd6ffb1e9961ee0267fa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")