Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника

Утверждение

Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный. 

Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является гипотенузой.

centr-opisannoj-okruzhnosti-lezhit-na-storone-treugolnikaДано: ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB

Доказать: ∆ABC — прямоугольный,

AB — гипотенуза

Доказательство:

AB — хорда проходящая через центр окружности. Значит, AB — диаметр.

Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр — прямые, то ∠ACB=90º.

Значит, треугольник ABC — прямоугольный, AB — гипотенуза.

Что и требовалось доказать.

Задача

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найти AC, если BC=32.

centr-okruzhnosti-opisannoj-lezhit-na-storoneДано: ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB, R=20, BC=32

Найти: AC

Решение:

Так как центр описанной около треугольника окружности ABC окружности лежит на стороне AB, то ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.

Так как радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы, то AB=2R=2∙20=40.

По теореме Пифагора

    \[AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} ,\]

    \[AC = \sqrt {{{40}^2} - {{32}^2}}  = 24.\]

Ответ: 24.

Добавить комментарий