Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема

(обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный.

teorema-obratnaya-teoreme-pifagoraДано: ∆ABC,

    \[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

Доказать: ∠C=90º

Доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C1.

Отложим на его сторонах отрезки C1A1=CA и C1B1=CB.

teorema-obratnaya-k-teoreme-pifagora

Проведём отрезок A1B1.

Получили треугольник A1B1C1, в котором ∠C1=90º.

obratnaya-k-teoreme-pifagora

В прямоугольном треугольнике A1B1C1 применим теорему Пифагора:

    \[{A_1}{B_1}^2 = {A_1}{C_1}^2 + {B_1}{C_1}^2.\]

Таким образом,

    \[\left. \begin{array}{l} {A_1}{B_1}^2 = {A_1}{C_1}^2 + {B_1}{C_1}^2\\ A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\\ {A_1}{C_1} = AC\\ {B_1}{C_1} = BC \end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}{B_1} = AB.\]

Итак, в треугольниках ABC и A1B1C1:

C1A1=CA и C1B1=CB (по построению),

A1B1=AB (по доказанному).

Следовательно, ∆A1B1C1=∆ABC (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠C=∠C1=90º.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий