Биссектрисы углов A и B при боковой стороне трапеции

Задача

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найти AB, если AF=24, BF=10.

Решение основано на свойстве биссектрис при боковой стороне  трапеции, которое в ходе решения задачи надо доказать.

bissektrisy-uglov-a-i-b-pri-bokovojДано:ABCD — трапеция, AD∥BC, AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, AF∩BF=F, AF=24, BF=10

Найти: AB

Решение:

    \[\angle BAD + \angle ABC = {180^o}\]

(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB).

Так как AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, то

    \[\angle BAF = \frac{1}{2}\angle BAD,\angle ABF = \frac{1}{2}\angle ABC.\]

Значит,

    \[\angle BAF + \angle ABF = \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ABC = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle BAD + \angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]

Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABF

    \[\angle BFA = {180^o} - (\angle BAF + \angle ABF) = \]

    \[ = {180^o} - {90^o} = {90^o}.\]

По теореме Пифагора

    \[A{B^2} = A{F^2} + B{F^2},\]

    \[A{B^2} = {24^2} + {10^2} = 676,\]

    \[AB = 26.\]

Ответ: 26.

Добавить комментарий