Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции

Рассмотрим два полезных свойства, которыми обладают биссектрисы углов при боковой стороне трапеции.

Утверждение 1.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

bissektrisy-uglov-pri-bokovoj-storone-trapeciiДано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC.

Доказать:∠COD=90º.

Доказательство:

∠ADC+∠BCD=180º (как внутренние односторонние углы при AD ∥ BC  и секущей CD).

Так как CO — биссектриса ∠BCD, то

    \[\angle OCD = \frac{1}{2}\angle BCD.\]

Так как DO — биссектриса ∠ADC,

    \[\angle CDO = \frac{1}{2}\angle ADC.\]

Следовательно,

    \[\angle OCD + \angle CDO = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^0}.\]

По теореме о сумме углов треугольника

    \[\angle BCD + \angle ADC + \angle COD = {180^o}.\]

bissektrisy-pri-bokovoj-storone-trapeciiОтсюда,

    \[{90^0} + \angle COD = {180^o},\]

    \[\angle COD = {90^0}.\]

Что и требовалось доказать.

 

Утверждение 2.

Биссектрисы углов при боковых сторонах трапеции пересекаются в точке,  лежащей на средней линии трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC,

MN — средняя линия трапеции.

Доказать: O ∈ MN.

Доказательство:

bissektrisy-pri-bokovoj-storone-trapecii-peresekayutsya-na-srednej-linii1) Рассмотрим треугольник COD — прямоугольный (по доказанному утверждению 1).

Проведем из вершины прямого угла COD медиану ON.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе,

    \[ON = \frac{1}{2}CD = CN = ND.\]

2) Так как ON=CN, треугольник OCN — равнобедренный с основанием OC.

Следовательно,

    \[\angle CON = \angle NCO\]

(как углы при основании равнобедренного треугольника).

Так как CO — биссектриса ∠BCD, 

    \[\angle NCO = \angle BCO\]

Значит,

    \[\angle BCO = \angle CON\]

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при ON и BC и секущей OC, то ON ∥ BC (по признаку параллельности прямых).

bissektrisy-pri-bokovoj-storone-trapecii-peresekayutsyaИмеем: прямая ON параллельна основанию трапеции BC и проходит через середину боковой стороны CD. Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию трапеции. Таким образом, точка O лежит на средней линии трапеции.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>