Угол между хордами

Утверждение

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между  его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

ugol-mezhdu-hordamiДано: окружность (O; R),

AB и CD — хорды, AB∩CD=F

Доказать:

    \[\angle AFD = \frac{1}{2}( \cup AD +  \cup BC)\]

Доказательство:

ugol-mezhdu-peresekayushchimisya-hordamiРассмотрим треугольник BFD.

∠AFD — внешний угол при вершине F.

По свойству внешнего угла треугольника ∠AFD=∠FBD+∠FDB.

    \[\angle {\rm{FBD = }}\frac{1}{2} \cup AD\]

(как вписанный угол, опирающийся на дугу AD),

    \[\angle {\rm{FDB = }}\frac{1}{2} \cup BC\]

(как вписанный угол, опирающийся на дугу BC).

Следовательно,

    \[\angle AFD = \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup BC = \]

    \[\frac{1}{2}( \cup AD +  \cup BC).\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий