Четырехугольник ABCD вписан в окружность

Задача

Четырехугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60º. Найти радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

chetyrekhugolnik-abcd-vpisanДано: ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность (O;R), AB=40, CD=10, AC∩BD=K, ∠AKB=60º

Найти: R

Решение:

Радиус описанной около четырёхугольника окружности можно найти как радиус окружности, описанной около любого из треугольников, образованной вершинами четырёхугольника, например, около треугольника ABC. Если использовать формулу

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }}\]

для стороны AB, то искомый радиус 

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin \angle ACB}}\]

Длина AB известна. Значит, задача сводится к нахождению синуса угла ACB. 

chetyrekhugolnik-abcd-so-storonami-abРассмотрим треугольники ABK и DCK.

1)∠ABK=∠DCK (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD);

2)∠AKB=∠DKC (как вертикальные).

Следовательно, треугольники ABK и DCK подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{BK}}{{CK}} = \frac{{40}}{{10}} = \frac{4}{1}.\]

Пусть CK=x, тогда BK=4x.

Рассмотрим треугольник BCK.

∠BKC+∠AKB=180º (как смежные), отсюда ∠BKC=180º-∠AKB=120º. По теореме косинусов

    \[B{C^2} = B{K^2} + C{K^2} - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos \angle BKC\]

cos∠BKC=cos120º=-1/2,

    \[B{C^2} = 16{x^2} + {x^2} - 2 \cdot 4x \cdot x \cdot ( - \frac{1}{2})\]

    \[B{C^2} = 21{x^2}, \Rightarrow BC = x\sqrt {21} .\]

По теореме синусов

    \[\frac{{BK}}{{\sin \angle KCB}} = \frac{{BC}}{{\sin \angle BKC}}\]

    \[\sin \angle KCB = \frac{{BK \cdot \sin \angle BKC}}{{BC}}\]

sin∠BKC=sin120º=√3/2,

    \[\sin \angle KCB = \frac{{4x \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{x\sqrt {21} }} = \frac{2}{{\sqrt 7 }}.\]

Следовательно, 

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin \angle ACB}} = \frac{{40}}{{2 \cdot \frac{2}{{\sqrt 7 }}}} = 10\sqrt 7 .\]

Ответ: 10√7.

Добавить комментарий