Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

okruzhnost-vpisana-v-ravnobedrennuyu-trapeciyuТо есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если  трапеция ABCD — равнобедренная, AD ∥ BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

    \[AB = CD = \frac{{AD + BC}}{2}.\]

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

srednyaya-liniya-opisannoj-ravnobedrennoj-trapeciyuЕсли MN -

средняя линия

трапеции ABCD,

AD ∥ BC, то

    \[MN = AB = CD = \frac{{AD + BC}}{2}.\]

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

vpisannaya-v-ravnobedrennuyu-trapeciyu-okruzhnostПо свойству равнобедренной трапеции,

    \[AF = DK = \frac{{AD - BC}}{2}.\]

Если AD=a, BC=b,

    \[AF = DK = \frac{{a - b}}{2}.\]

    \[AB = \frac{{a + b}}{2}.\]

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

    \[B{F^2} = A{B^2} - A{F^2},\]

    \[B{F^2} = {(\frac{{a + b}}{2})^2} - {(\frac{{a - b}}{2})^2}\]

    \[B{F^2} = \frac{{{{(a + b)}^2} - {{(a - b)}^2}}}{4}\]

    \[B{F^2} = \frac{{(a + b - a + b)(a + b + a - b)}}{4}\]

    \[B{F^2} = \frac{{2b \cdot 2a}}{4} = ab,\]

    \[h = \sqrt {ab} .\]

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

    \[r = \frac{1}{2}\sqrt {ab} .\]

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

okruzhnost-vpisana-v-ravnobokuyu-trapeciyu

 

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

 

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

okruzhnost-vpisannaya-v-ravnobochnuyu-trapeciyuТаким образом, в трапеции ABCD, AD ∥ BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

    \[CO \bot DO\]

Значит, треугольник COD — прямоугольный,

    \[ON \bot CD\]

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, ON — высота, проведённая к гипотенузе,

    \[r = \sqrt {CN \cdot DN} .\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>