Высоты параллелограмма и угол между ними

Как найти стороны параллелограмма, если даны высоты параллелограмма и угол между ними? Как найти периметр и площадь параллелограмма по его высотам и углу между высотами?

Задача.

Высоты параллелограмма равны m и n, а угол между ними — . Найти стороны параллелограмма, его периметр и площадь.

vysoty-parallelogramma-i-ugol-mezhdu-nimiI. Так как угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма,

    \[\angle A = \angle C = \angle MBN = \alpha .\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM.

По определению синуса,

    \[\sin \angle A = \frac{{BM}}{{AB}},\]

следовательно,

    \[AB = \frac{{BM}}{{\sin \angle A}} = \frac{m}{{\sin \alpha }}.\]

Аналогично, из треугольника BCN

    \[BC = \frac{{BN}}{{\sin \angle C}} = \frac{n}{{\sin \alpha }}.\]

Периметр параллелограмма

    \[{P_{ABCD}} = 2(AB + BC)\]

    \[{P_{ABCD}} = 2(\frac{m}{{\sin \alpha }} + \frac{n}{{\sin \alpha }}) = \frac{{2(m + n)}}{{\sin \alpha }}.\]

Площадь параллелограмма

    \[{S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{m}{{\sin \alpha }} \cdot \frac{n}{{\sin \alpha }} \cdot \sin \alpha  = \frac{{mn}}{{\sin \alpha }}.\]

dany-vysoty-parallelogramma-i-ugol-mezhdu-nimiII. Так как угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма,

    \[\angle ABC = \angle ADC = \angle KCF = \alpha .\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC.

    \[\angle KBC = {180^o} - \angle ABC = {180^o} - \alpha \]

(как смежные).

    \[BC = \frac{{KC}}{{\sin \angle KBC}}\]

Так как

    \[\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha ,\]

    \[BC = \frac{m}{{\sin \alpha }}.\]

Аналогично, из треугольника DCF

    \[CD = \frac{n}{{\sin \alpha }}.\]

Вывод:

чтобы найти стороны параллелограмма, надо его высоты разделить на синус угла между высотами;

периметр параллелограмма равен частному от деления удвоенной суммы высот на синус угла между ними;

площадь параллелограмма равна произведению высот, деленному на синус угла между ними.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>