Площадь параллелограмма через угол между высотами

Как найти площадь параллелограмма через стороны и угол между высотами?

Задача.

Стороны параллелограмма равны a и b, угол между высотами — α. Найти площадь параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длин сторон на синус угла между ними:

    \[{S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A\]

ploshchad-parallelogramma-cherez-ugol-mezhdu-vysotamiI. Угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма:

    \[\angle MBN = \angle A.\]

Следовательно,

    \[\angle MBN = \angle A = \alpha \]

и

    \[{S_{ABCD}} = a \cdot b \cdot \sin \alpha .\]

 

ploshchad-parallelogramma-i-ugol-mezhdu-vysotamiII. Угол между высотами, проведенными из вершины острого угла параллелограмма, равен тупому углу параллелограмма:

    \[\angle KCF = \angle B = \alpha .\]

Отсюда,

    \[\angle A = {180^o} - \angle B = {180^0} - \alpha \]

(как внутрениие односторонние углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AB).

Так как

    \[\sin ({180^0} - \alpha ) = \sin \alpha ,\]

    \[{S_{ABCD}} = AB \cdot BC \cdot \sin \angle B = a \cdot b \cdot \sin \alpha .\]

Ответ: a∙b∙sin α.

Таким образом, площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между высотами.

В следующий раз рассмотрим, как найти площадь параллелограмма через высоты и образованный этими угол.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>