Из прямого угла проведены медиана и высота

Задача

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла к гипотенузе проведены медиана длиной 25 см и высота длиной 24 см. Найти периметр и площадь треугольника.

iz-pryamogo-ugla-provedeny-mediana-i-vysotaДано: ∆ ABC, ∠С=90º,

CM — медиана,

CF — высота,

CM=25 см, CF=24 см.

Найти:

    \[{P_{\Delta ABC}},{S_{\Delta ABC}}.\]

Решение:

1) Рассмотрим треугольник СМF.

∠СFM=90º (так как CF — высота).

По теореме Пифагора,

    \[C{M^2} = C{F^2} + M{F^2},\]

    \[MF = \sqrt {C{F^2} - C{M^2}} \]

    \[MF = \sqrt {{{25}^2} - {{24}^2}}  = \sqrt {(25 - 24)(25 + 24)}  = 7cm.\]

2) По свойству медианы прямоугольного треугольника,

    \[CM = \frac{1}{2}AB,\]

следовательно, AB=2∙25=50 см и AM=MB=25 см.

3) FB=MB — MF=25 — 7=18 см, AF=AM+MF=25+7=32 см.

4) По свойству прямоугольного треугольника,

    \[CB = \sqrt {AB \cdot FB} ,AC = \sqrt {AB \cdot AF} ,\]

    \[CB = \sqrt {50 \cdot 18}  = \sqrt {25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9}  = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30cm,\]

    \[AC = \sqrt {50 \cdot 32}  = \sqrt {25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16}  = 5 \cdot 2 \cdot 4 = 40cm.\]

(или можно было найти CB и AC из прямоугольных треугольников BCF и ACF по теореме Пифагора).

5)

    \[{P_{\Delta ABC}} = AB + AC + BC,\]

    \[{P_{\Delta ABC}} = 50 + 40 + 30 = 120cm\]

Площадь треугольника можно найти и как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне,

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 24 = 600c{m^2},\]

и как половину произведения катетов.

Ответ: 120 см, 600 см². 

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>