Середины сторон ромба — вершины прямоугольника

Задача.

Доказать, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

serediny-storon-rombaДано: ABCD — ромб,

M, N, K, F — середины его сторон

Доказать: MNKF — прямоугольник.

Доказательство:

serediny-storon-romba-vershiny-pryamougolnika1) По теореме Вариньона, MNKF- ромб.

2) Проведём диагонали AC и BD.

3) Рассмотрим треугольник ABC.

По условию, M и N — середины сторон AB и BC.

Значит, MN — средняя линия треугольника ABC (по определению).

По свойству средней линии треугольника,

    \[MN\parallel AC.\]

4) Аналогично, в треугольнике BCD

    \[NK\parallel BD.\]

5) По свойству ромба,

    \[AC \bot BD\]

Две прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, также перпендикулярны:

    \[MN \bot NK.\]

6) Имеем: в параллелограмме MNKF ∠MNK=90º.

Значит, MNKF- прямоугольник (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Периметр прямоугольника MNKP равен сумме диагоналей ромба ABCD

    \[{P_{MNKF}} = AC + BD.\]

Площадь прямоугольника MNKP равна половине площади ромба ABCD

    \[{S_{MNKF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>