Проекции катетов на гипотенузу

Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника.

proektsii katetov na gipotenuzuВ треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу.

Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами.

1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.

    \[CD = \sqrt {AD \cdot BD} ,\]

или

    \[C{D^2} = AD \cdot BD.\]

2) Свойства катетов прямоугольного треугольника.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

    \[AC = \sqrt {AB \cdot AD} \]

    \[BC = \sqrt {AB \cdot BD} \]

или

    \[A{C^2} = AB \cdot AD\]

    \[B{C^2} = AB \cdot BD.\]

17 Comments

  1. Макс 10.03.2016 23:43 Ответить


    Спасибо!)

  2. Дмитрий 08.02.2017 17:32 Ответить

    а как найти проекцию катетов

    • admin 09.02.2017 00:35 Ответить

      Если гипотенуза и катет известны, то по этой же формуле. Как неизвестный множитель.

      • Владислав 30.03.2017 17:05 Ответить

        а если известны только катеты

        • admin 30.03.2017 21:55 Ответить

          Если известны катеты, по теореме Пифагора можем найти гипотенузу. Зная катет и гипотенузу, можем найти проекцию этого катета на гипотенузу. Проекция другого катета равна разности между гипотенузой и проекцией первого катета.

      • Влад 16.02.2018 18:41 Ответить

        по какой именно формуле?

        • admin 18.02.2018 18:40 Ответить

          Например, так как BC²=AB∙BD, то BD=BC²:AB.
          AD=AB-BD.

  3. Риженко Иван 21.02.2017 11:03 Ответить

    помогло!!

  4. Ağsaqqal 07.01.2018 17:12 Ответить

    Спасибо ☺

  5. 356 26.02.2018 18:08 Ответить

    Катеты прямоугольного треугольника 15см и 20см.Найти их проекции на гипотенузу.

    • admin 01.03.2018 13:57 Ответить

      Так как катеты 15 см и 20 см, по теореме Пифагора гипотенуза равна 25 см. Далее AC²=AB∙AD, AD=AC²:AB=15²:25=9.
      BC²=AB∙BD, BD=BC²:AB=20²:25=16.

  6. Qwerty 17.04.2018 11:36 Ответить

    Катет треугольника 8
    Проекция на гипотенузу 6,4
    Найдите объем треугольника?

    • admin 17.04.2018 14:42 Ответить

      Треугольник — плоская фигура. Может быть, Вы имели в виду площадь?
      Если проекция катета 8 на гипотенузу равна 6,4, то 8²=6,4∙x, где x — гипотенуза. Отсюда x=10. По теореме Пифагора найдём другой катет. Он равен 6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S=(1/2)∙6∙8=24.

  7. Ирина 03.05.2018 11:37 Ответить

    А если мне известна высота и проекция одного катета к гипотенузе, как найти площадь

    • admin 03.05.2018 12:20 Ответить

      Можно найти проекцию другого катета. Зная обе проекции, знаем гипотенузу. По гипотенузу и проведённой к ней высоте находим площадь треугольника.
      Например, CD²=AD∙BD, AD=CD²:BD.
      AB=AD+BD=CD²:BD+BD.
      S=(1/2)∙AB∙CD=(1/2)∙(CD²:BD+BD)∙CD.

  8. Настя 11.05.2018 08:13 Ответить

    Дан прямоугольный треугольник.
    Гипотенуза -25 см
    Длина одного катета — 10 см
    Найти проекцию гипотенузы на другой катет.

    • admin 11.05.2018 09:24 Ответить

      Вариантов решений несколько. Используем приведённый выше чертёж. Пусть AC=10, AB=25. Тогда AC²=AB∙AD, AD=AC²:AB=10²:25=4. Отсюда BD=AB-AD=25-4=21.

Добавить комментарий