Проекции катетов на гипотенузу

Проекции катетов на гипотенузу

Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника.

proektsii katetov na gipotenuzuВ треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу.

Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами.

1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.

    \[CD = \sqrt {AD \cdot BD} ,\]

или

    \[C{D^2} = AD \cdot BD.\]

2) Свойства катетов прямоугольного треугольника.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

    \[AC = \sqrt {AB \cdot AD} \]

    \[BC = \sqrt {AB \cdot BD} \]

или

    \[A{C^2} = AB \cdot AD\]

    \[B{C^2} = AB \cdot BD.\]

48 Comments

    1. Если гипотенуза и катет известны, то по этой же формуле. Как неизвестный множитель.

        1. Если известны катеты, по теореме Пифагора можем найти гипотенузу. Зная катет и гипотенузу, можем найти проекцию этого катета на гипотенузу. Проекция другого катета равна разности между гипотенузой и проекцией первого катета.

  1. Катеты прямоугольного треугольника 15см и 20см.Найти их проекции на гипотенузу.

    1. Так как катеты 15 см и 20 см, по теореме Пифагора гипотенуза равна 25 см. Далее AC²=AB∙AD, AD=AC²:AB=15²:25=9.
      BC²=AB∙BD, BD=BC²:AB=20²:25=16.

  2. Катет треугольника 8
    Проекция на гипотенузу 6,4
    Найдите объем треугольника?

    1. Треугольник — плоская фигура. Может быть, Вы имели в виду площадь?
      Если проекция катета 8 на гипотенузу равна 6,4, то 8²=6,4∙x, где x — гипотенуза. Отсюда x=10. По теореме Пифагора найдём другой катет. Он равен 6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S=(1/2)∙6∙8=24.

  3. А если мне известна высота и проекция одного катета к гипотенузе, как найти площадь

    1. Можно найти проекцию другого катета. Зная обе проекции, знаем гипотенузу. По гипотенузу и проведённой к ней высоте находим площадь треугольника.
      Например, CD²=AD∙BD, AD=CD²:BD.
      AB=AD+BD=CD²:BD+BD.
      S=(1/2)∙AB∙CD=(1/2)∙(CD²:BD+BD)∙CD.

  4. Дан прямоугольный треугольник.
    Гипотенуза -25 см
    Длина одного катета — 10 см
    Найти проекцию гипотенузы на другой катет.

    1. Вариантов решений несколько. Используем приведённый выше чертёж. Пусть AC=10, AB=25. Тогда AC²=AB∙AD, AD=AC²:AB=10²:25=4. Отсюда BD=AB-AD=25-4=21.

  5. Помогите пожалуйста. Дана бисектриса, которая делит гипотенузу на отрезки 100 см и 75 см, а также дана высота, проведённая к гипотенузе. Нужно найти отрезки, на которые гипотенузу делит высота

  6. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.

    1. Диаметр описанной около прямоугольного треугольника окружности равен гипотенузе. Таким образом, задача сводится к нахождению гипотенузы. Если принять проекцию катета длиной 20 на гипотенузу за x, то гипотенуза равна x+9. Составляем уравнение : x(x+9)=20² и решаем его.

  7. нам дан катет и проекция на гипотенузу катет равен 8 см ,а проекция 6 см нужно найти кает и гипотенузу ???

    1. Неизвестную проекцию примем за x см. Тогда длина гипотенузы равна (x+6) см. Квадрат катета равен произведению его проекции на гипотенузу и гипотенузы.
      1) Если 6 см — это проекция катета, равного 8 см, то 6(x+6)=8², откуда x=14/3.
      2) Если 6 см — проекция неизвестного катета, то x(x+6)=8².
      Решив квадратное уравнение, находим x=-3+√73 и гипотенузу x+6=-3+√73+6=3+√73. Второй катет — √(6(3+√73)).

  8. нам дан катет и проекция на гипотенузу катет равен 8 см ,а проекция 6 см нужно найти периметр

  9. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а его проекция на гипотенузу — 4 см. Найдите гипотенузу.

  10. Триугольник ACB C=90(град) Как найти гипотенузу, если известный CB(катет)=15 см, его проєкция на АВ 9 см

  11. Один из катетов 5 см, высота проведенная к гипотенузе 3 см. Просят найти второй катет

    1. Сначала найдём проекцию известного катета на гипотенузу. Катет, его проекция на гипотенузу и высота, проведённая к гипотенузе, образуют прямоугольный треугольник. В данном случае — египетский, то есть проекция катета на гипотенузу равна 4 см (в других случаях ищем её по теореме Пифагора). По формуле AC²=AB∙AD, где AC — катет, AD — его проекция на гипотенузу, AB -гипотенуза ( AC=5 см, AD=4 см), находим AB=AC²:AD=5²:5=25/4 см.

  12. А если проекция катетов равен на 12 и 15. Как найти длину катетов. Спасибо

    1. Сложив проекции катетов, найдём длину гипотенузы: 12+15=27. Катет равен квадратному корню из произведения гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Следовательно, один из катетов равен √(27∙12)=√(324)=18, другой — √(27∙15)=√(405)=9√5.

  13. А если один катет равен 16 см а гипатинуза 20и нужно найти проэкцию данного катета на гипатинузу

    1. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: 16²=20∙x. Отсюда x=16²:20=256:20=12,8.

  14. А что делать, если известен один катет — 20 и проекция другого — 9. Нужно найти высоту.

    1. Пусть проекция катета длиной 20 равна x, тогда гипотенуза равна x+9.
      20²=x(x+9)
      x²+9x-400=0
      x=16, x=-25 — не удовлетворяет условию задачи.
      Высота,проведенная к гипотенузе, √(9•16)=12.

  15. Известная только одна проекция MP и высота OP,нужно найти катеты. Что делать?

    1. Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Одна проекция — MP, вторую обозначим через x. Тогде OP²=MP∙x, x=OP²/MP. Гипотенуза равна сумме проекций катетов MP+OP²/MP. Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Соответственно, один катет равен

          \[ \sqrt {MP(MP + \frac{{OP^2 }}{{MP}})} , \]

      второй —

          \[ \sqrt {\frac{{OP^2 }}{{MP}}(MP + \frac{{OP^2 }}{{MP}})} . \]

  16. Если катеты 9 и 12 а гипотенуза 15 то по какой формуле находить проекцию

  17. в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 24 см и 54 см. вычислите катеты прямоугольного треугольника.помогите пж

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *