Медиана, проведенная из прямого угла

В прошлый раз мы доказали утверждение:

Медиана, проведенная из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Рассмотрим еще один способ доказательства, опирающийся на знания материала из курса геометрии только 7 класса.

II способ.

mediana provedennaya iz pryamogo ugla Дано:

ABC,

BCA=90º,

CO — медиана

Доказать:

    \[CO = \frac{1}{2}AB\]

 Доказательство:

pryamougolnyiy treugolnik mediana

1) На луче СО отложим отрезок OF:

OF=CO.

2) Проведем отрезок AF.

3) Рассмотрим BOC и  ∆ AOF .

BO=AO (так как CO — медиана по условию)

CO=OF ( по построению)

BOC=AOF (как вертикальные).

Следовательно, BOC = ∆ AOF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: CB=AF и соответствующих углов: CBO=FAO.

4) CBO=FAO. А так как эти углы -  внутренние накрест лежащие при прямых BC и FA и секущей AB, то BC∥FA (по признаку параллельных прямых).

Так как прямая BC перпендикулярна AC, то и FA перпендикулярна AC.

Значит, ABC и CFA — прямоугольные.

У них CB=AF (по доказанному), AC — общий катет. Значит, ABC = CFA (по двум катетам).

Следовательно, AB=FC. Отсюда

    \[CO = \frac{1}{2}CF = \frac{1}{2}AB.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>