Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

medianyi v pryamougolnom treugolnike

 

medianyi v pryamougolnom treugolnike  Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:

 

 

    \[AO:O{A_1} = BO:O{B_1} = CO:O{C_1} = 2:1.\]

Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.

 

Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:

 

mediana v pryamougolnom treugolnike 1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    \[C{C_1} = \frac{1}{2}AB\]

(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)

 

mediana ravna radiusu 2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.

    \[CO = BO = AO = R\]

 

 

Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.

dlinyi median v pryamougolnom treugolnike Например:

    \[C{C_1} = \frac{1}{2}\sqrt {A{C^2} + B{C^2}} \]

    \[C{C_1} = \frac{{BC}}{{2\sin \angle A}}\]

    \[C{C_1} = \frac{{AC}}{{2\cos \angle A}}\]

    \[A{A_1} = \sqrt {A{C^2} + {A_1}{C^2}}  = \sqrt {A{C^2} + \frac{1}{4}B{C^2}} \]

    \[B{B_1} = \sqrt {B{C^2} + {B_1}{C^2}}  = \sqrt {B{C^2} + \frac{1}{4}A{C^2}} \]

и так далее.

7 Comments

  1. Петр 09.02.2015 22:21 Ответить

    Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
    Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.

    • admin 10.02.2015 00:40 Ответить

      Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.

    • Сергей 27.03.2015 19:57 Ответить

      попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
      BC^2=11x
      X^2+11X=144
      X^2=12
      x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора

  2. KoLLlaK 24.12.2015 00:59 Ответить

    Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))

  3. Татьяна 08.02.2016 22:28 Ответить

    Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
    В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.

    • admin 09.02.2016 00:30 Ответить

      1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
      Где-то так.

      • Татьяна 09.02.2016 20:46 Ответить

        Спасибо за подсказку.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>