Угол между высотами параллелограмма

Чему равен угол между высотами параллелограмма? Это зависит от того, из вершины какого угла — острого или тупого — проведены эти высоты.

Утверждение I

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

ugol mezhdu vyisotami parallelogramma

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

ABC — тупой,

BM, BN — высоты параллелограмма.

Доказать:

MBN=C.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник NBC — прямоугольный (BNC=90º, поскольку BN — высота параллелограмма).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то NBC+C=90º. Следовательно, NBC=90º-C.

2) Так как BM — высота параллелограмма, то MBC=90º.

MBC=MBN+NBC.

Отсюда, MBC=90º-NBC.

Так как NBC=90º-C,

MBN=90º-(90º-C)=90º-90º+C=C.

Что и требовалось доказать.

 

Утверждение II

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

ugol mezhdu vyisotami iz tupogo ugla

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

  ∠BCD — острый,

CK и CF — высоты параллелограмма.

Доказать:

KCF=ABC

Доказательство:

 

1) ABC+KBC=180º (как смежные).

Следовательно, KBC=180º-ABC.

2) Так как CF — высота параллелограмма ABCD, то она перпендикулярна к прямым, содержащим стороны AD и BC. Поэтому BCF=90º.

3) Рассмотрим треугольник KBC — прямоугольный (KBC=90º, так как CK- высота параллелограмма ABCD).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

KCB=90º-KBC=90º-(180º-ABC)=90º-180º+ABC=ABC-90º.

4) KCF=KCB+BCF=ABC-90º+90º=ABC.

Что и требовалось доказать.

2-й способ

1) ∠ADC для треугольника DCF — внешний. Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

∠ADC=∠DFC+∠DCF=90º+∠DCF.

2) ∠KCF=∠KCD+∠DCF.

∠KCD=90º (так как KC — высота параллелограмма). Отсюда,

∠KCF=90º+∠DCF=∠ADC.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>