Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?
Определение.
Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.
Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.
На рисунке:
∠3 — внешний угол при вершине А,
∠2 — внешний угол при вершине С,
∠1 — внешний угол при вершине В.
Сколько внешних углов у треугольника?
При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.
Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):
∠1=∠4, ∠2=∠5, ∠3=∠6.
Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.
Чему равен внешний угол?
Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Дано: ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.
Доказать: ∠1=∠А+∠В.
Доказательство:
Так как сумма углов треугольника равна 180º, ∠А+∠В+∠С=180º.
Следовательно, ∠С=180º-(∠А+∠В).
∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.
Что и требовалось доказать.