Площадь вписанного четырехугольника

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

ploshchad-vpisannogo-chetyrekhugolnikaI способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

    \[S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} ,\]

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

    \[p = \frac{{a + b + c + d}}{2}.\]

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

II способ.

ploshchad-chetyrekhugolnika-vpisannogo-v-okruzhnostПлощадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

    \[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC.\]

Аналогично, из треугольника ADC

    \[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ADC.\]

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

    \[\angle ABC + \angle ADC = {180^o}\]

Так как cos(180º-α)= — cosα

    \[\cos \angle ADC = \cos ({180^o} - \angle ABC) =  - \cos \angle ADC\]

Отсюда,

    \[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} + 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ABC.\]

Приравниваем правы части равенств для AC²

    \[A{D^2} + D{C^2} + 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ABC = \]

    \[ = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC.\]

Отсюда,

    \[2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ABC + 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC = \]

    \[ - A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2},\]

    \[2\cos \angle ABC \cdot (AD \cdot DC + AB \cdot BC) = \]

    \[ = A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}\]

    \[\cos \angle ABC = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}}}{{2(AB \cdot BC + AD \cdot DC)}}.\]

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

    \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\]

  (для 0º<α<180º sinα>0)

    \[\sin \angle ABC = \sqrt {1 - {{(\cos \angle ABC)}^2}} \]

и по формуле

    \[S = \frac{1}{2}a \cdot b \cdot \sin \alpha \]

найдём

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC.\]

Аналогично,

    \[{S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin \angle ADC,\]

    \[\sin \angle ADC = \sin \angle ABC\]

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

    \[{S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta ADC}}.\]

В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.

Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

    \[S = \frac{1}{2}{d_1} \cdot {d_2} \cdot \sin \varphi \]

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>