Найти площадь четырёхугольника, вписанного в окружность

Рассмотрим на конкретных примерах, как найти площадь четырёхугольника, вписанного в окружность.

1) В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найти площадь четырёхугольника.

Решение:

najti-ploshchad-chetyrekhugolnika-vpisannogo-v-okruzhnostI способ.

По формуле Брахмагупты:

    \[S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} ,\]

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

    \[p = \frac{{a + b + c + d}}{2},\]

    \[p = \frac{{3 + 5 + 8 + 10}}{2} = 13cm,\]

    \[S = \sqrt {(13 - 3)(13 - 5)(13 - 8)(13 - 10)}  = \]

    \[ = \sqrt {10 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 3}  = \sqrt {400 \cdot 3}  = 20\sqrt 3 c{m^2}\]

najti-ploshchad-vpisannogo-chetyrekhugolnika-po-storonamII способ. (подробно разобран ранее).

Проведём диагональ AC.

По теореме косинусов из треугольников ABC н ADC найдём AC², приравняем правые части и получим косинус угла ABC: 

    \[\cos \angle ABC = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}}}{{2(AB \cdot BC + AD \cdot DC)}}.\]

    \[\cos \angle ABC = \frac{{{8^2} + {{10}^2} - {5^2} - {3^2}}}{{2(8\cdot10 + 5\cdot3)}} = \frac{{13}}{{19}}.\]

Затем найдём синус угла ABC

    \[\sin \angle ABC = \sqrt {1 - {{(\cos \angle ABC)}^2}} \]

    \[\sin \angle ABC = \sqrt {1 - {{(\frac{{13}}{{19}})}^2}}  = \sqrt {\frac{{192}}{{361}}}  = \frac{{8\sqrt 3 }}{{19}}.\]

По формуле

    \[S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \]

найдём площади треугольников ABC и ADC:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC\]

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{{8\sqrt 3 }}{{19}} = \frac{{320\sqrt 3 }}{{19}}.\]

    \[{S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin \angle ADC\]

    \[{S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{{8\sqrt 3 }}{{19}} = \frac{{60\sqrt 3 }}{{19}}.\]

    \[{S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta ADC}}\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{320\sqrt 3 }}{{19}} + \frac{{60\sqrt 3 }}{{19}} = \frac{{320\sqrt 3 }}{{19}} = 20\sqrt 3 c{m^2}.\]

2) В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 7 см, 24 см, 20 см, 15 см. Найти площадь четырёхугольника.

Решение:

ploshchad-vpisannogo-chetyrekhugolnika-po-storonam

    \[\cos \angle ABC = \frac{{{{20}^2} + {{15}^2} - {7^2} - {{24}^2}}}{{2(20\cdot15 + 7\cdot24)}} = 0,\]

следовательно, ∠ABC=90º, треугольники ABC и ADC — прямоугольные.

(Или: так как

    \[{20^2} + {15^2} = {24^2} + {7^2},\]

то AB и BC, а также AD и CD — катеты прямоугольных треугольников с общей гипотенузой AC).

    \[{S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta ADC}} = \]

    \[ = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2}(AB \cdot BC + AD \cdot CD)\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}(20 \cdot 15 + 24 \cdot 7) = 234c{m^2}.\]

Таким образом, для частного случая можно сделать вывод: если для вписанного четырёхугольника, стороны которого последовательно равны a, b, c и d, выполняется условие

    \[{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2},\]

то площадь четырёхугольника можно найти по формуле

    \[S = \frac{1}{2}(ab + cd).\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>