Угол между диагоналями прямоугольника

Как связаны угол между диагоналями прямоугольника и угол между диагональю прямоугольника и его стороной?

Задача 1.

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной.

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika

 

Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:

I способ

1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven

 

 

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

 

Тогда

    \[\angle OCD = \frac{{{{180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac{{{{180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]

    \[ = \frac{{{{180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

    \[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]

Ответ: φ/2.

II способ

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

 

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший  угол между диагоналями прямоугольника.

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

 

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

Ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>