Биссектрисы углов параллелограмма

Какими свойствами обладают биссектрисы углов параллелограмма? Для биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, и для биссектрис противолежащих углов эти свойства разные.

Свойство биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Биссектрисы углов параллелограмма,  прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

bissektrisyi uglov parallelogramma

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF  биссектриса ∠BAD,

DK- биссектриса ∠ADC,

AF ∩ DK= M.

Доказать: ∠AMD=90º.

Доказательство:

1) ∠BAD+∠ADC=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD).

2) Так как биссектриса угла делит его пополам, то

    \[\angle DAM = \frac{1}{2}\angle BAD,\angle ADM = \frac{1}{2}\angle ADC.\]

    \[3)\angle DAM + \angle ADM = \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ADC = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle BAD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]

4) Рассмотрим треугольник ADM. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то

∠DAM+∠ADM+∠AMD=180º,

90º+∠AMD=180º, откуда ∠AMD=180º- 90º=90º,

bissektrisyi uglov parallelogramma perpendikulyarnyi

 

то есть биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к стороне AD, перпендикулярны.

 

Что и требовалось доказать.

В следующий раз рассмотрим свойство биссектрис противолежащих углов параллелограмма.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>