Биссектрисы параллелограмма

Если биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне перпендикулярны, то биссектрисы противолежащих углов обладают другим свойством.

Свойство биссектрис противоположных углов параллелограмма.

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

bissektrisyi protivopolozhnyih uglov parallelogramma

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

CN- биссектриса ∠BCD.

Доказать: AF ∥ CN или лежат на одной прямой.

Доказательство:

1) Так как AF — биссектриса ∠BAD, CN — биссектриса ∠BCD (по условию), то

    \[\angle FAD = \frac{1}{2}\angle BAD\]

    \[\angle BCN = \frac{1}{2}\angle BCD.\]

2) ∠BAD=∠BCD (по свойству противолежащих углов параллелограмма).

Следовательно, их половины тоже равны: ∠FAD=∠BCN.

3) BC ∥ AD (по определению параллелограмма).

bissektrisyi protivolezhaschih uglov parallelogramma

 

Значит, ∠FAD=∠AFB

(как внутренние накрест лежащие углы

при BC ∥ AD и секущей BC).

 

    \[4)\left. \begin{array}{l} \angle FAD = \angle BCN\\ \angle FAD = \angle AFB \end{array} \right\} \Rightarrow \angle BCN = \angle AFB.\]

А так как эти углы — соответственные при прямых AF и CN и секущей BC, то AF ∥ CN (по признаку параллельности прямых).

Если все стороны параллелограмма равны, биссектрисы противоположных углов лежат на одной прямой.

bissektrisyi parallelogramma lezhat na odnoy pryamoy

 

В этом случае из того, что AB=BC следует, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC,

а значит, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>