Теорема Вариньона

В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.

Теорема (Вариньона)

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

teorema-varinonaДано: ABCD — четырёхугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать: MNKF — параллелограмм.

Доказательство:

serediny-storon-chetyrekhugolnika-vershiny-parallelogramma1) Проведём диагональ AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.

По свойствам средней линии треугольника,

    \[MN\parallel AC,\]

    \[MN = \frac{1}{2}AC.\]

3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и

    \[FK\parallel AC,\]

    \[FK = \frac{1}{2}AC.\]

4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

    \[\left. \begin{array}{l} MN\parallel AC\\ FK\parallel AC \end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel FK\]

А так как

    \[MN = \frac{1}{2}AC\]

и

    \[FK = \frac{1}{2}AC,\]

то MN=FK.

5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).

Следствие 1.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма:

    \[{P_{MNKF}} = AC + BD\]

(так как стороны MNKF равны половине диагонали AC или BD).

Следствие 2.

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного параллелограмма:

    \[{S_{MNKF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\]

Доказательство:

parallelogramm-varinona

    \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \angle COD,\]

    \[{S_{MNKF}} = MN \cdot MF \cdot \sin \angle NMF,\]

углы COD и NMF равны (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN и секущей BD),

    \[MN = \frac{1}{2}AC,MF = \frac{1}{2}BD.\]

    \[{S_{MNKF}} = \frac{1}{2}AC \cdot \frac{1}{2}BD \cdot \sin \angle COD = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \angle COD) = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>