Середины сторон прямоугольника — вершины ромба

Задача.

Доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

serediny-storon-pryamougolnikaДано: ABCD — прямоугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать: MKNF — ромб.

Доказательство:

serediny-storon-pryamougolnika-yavlyayutsya-vershinami-romba1) Проведём диагонали AC и BD.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как F и M — середины AB и BC, FM- средняя линия треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника,

    \[FM = \frac{1}{2}AC.\]

3) Аналогично, в треугольнике ADC

    \[KN = \frac{1}{2}AC,\]

в треугольнике ABD

    \[FK = \frac{1}{2}BD,\]

в треугольнике BCD

    \[MN = \frac{1}{2}BD.\]

4) По свойству прямоугольника, AC=BD.

Значит, FM=MN=KN=FK. Следовательно, MNKF — ромб (по признаку).

Что и требовалось доказать.

По доказанному, сторона ромба равна половине диагонали прямоугольника. Следовательно, периметр ромба равен удвоенной длине диагоналям прямоугольника:

    \[{P_{MNKF}} = 2 \cdot AC.\]

serediny-storon-pryamougolnika-vershiny-rombaПлощадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

    \[{S_{MNKF}} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot FN\]

Диагонали ромба MNKF равны сторонам прямоугольника ABCD, следовательно, площадь ромба равна половине произведения сторон прямоугольника:

    \[{S_{MNKF}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD.\]

и половине площади прямоугольника:

    \[{S_{MNKF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>