Если у четырехугольника все стороны равны

Теорема.

(3-й признак ромба)

Если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом.

esli u chetyirehugolnika vse storonyi ravnyi

 

 

Дано:

ABCD — четырехугольник,

AB=BC=CD=AD.

Доказать:

ABCD — ромб.

Доказательство:

1) Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.

v chetyirehugolnike vse storonyi ravnyi

 

2) Так как AB=BC (по условию), то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA.

3) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и ∠DAC=∠DCA.

4) В треугольниках ABC и ADC:

esli v chetyirehugolnike vse storonyi ravnyi

 

AB=AD и BC=DC (по условию);

сторона AC — общая.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны (по трем сторонам).

5) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠BAC=∠DAC и ∠BCA=∠DCA.

Следовательно, ∠BAC=∠DCA.

Поскольку эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).

6) В четырехугольнике ABCD две стороны AB и CD параллельны и равны. Значит, ABCD — параллелограмм (по признаку).

А так как у него все стороны равны (по условию), то ABCD — ромб (по определению).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>