Если диагональ параллелограмма является биссектрисой

Теорема.

(2-й признак ромба)

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

esli diagonal parallelogramma bissektrisa

 

 

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC- диагональ,

AC — биссектриса углов BAD и BCD.

Доказать:

ABCD — ромб.

Доказательство:

1) ∠BAD=∠BCD (по свойству противолежащих углов параллелограмма).

2) Так как AC — биссектриса углов BAD и BCD (по условию), то

∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.

esli diagonal parallelogramma yavlyaetsya bissektrisoy

 

3) Так как в треугольнике ABC два угла равны (∠BAC=∠BCA), то треугольник ABC- равнобедренный с основанием AC (по признаку).

Следовательно, AB=BC.

 

4) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и AD=DC.

5) По свойству противолежащих сторон параллелограмма,

AB=CD, BC=AD.

6) Таким образом, ABCD — параллелограмм (по условию) и

AB=CD=BC=AD (по доказанному).

Следовательно, ABCD — ромб (по определению).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>