Правильный многоугольник вписан

Теорема.

Правильный многоугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Дано:

ABCDE… — правильный многоугольник.

Доказать:

ABCDE… — вписанный в окружность и описанный около окружности.

Доказательство:

pravilnyj-mnogougolnikПусть точки A, B и C — соседние вершины некоторого правильного многоугольника.

Проведём биссектрисы углов A и B многоугольника. Обозначим их точку пересечения через O.

Углы A и B равны (как углы правильного многоугольника). Пусть ∠A=∠B=α.

Биссектрисы равных углов образуют равные углы. Значит, ∠OAB=∠OBA=α/2. Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB (по признаку).

Проведём отрезок OC. Рассмотрим треугольники AOB и COB.

1) AB=CB (как стороны правильного многоугольника).

2) BO — общая сторона.

3) ∠OBA=∠OBC=α/2 (так как BO — биссектриса по построению).

Значит, треугольники AOB и COB равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, треугольник  COB также является равнобедренным и его углы при основании равны α/2.

Поскольку ∠С=∠A=∠B=α, а ∠OCB=α/2, то CO является биссектрисой угла C.

Аналогично проводим отрезки DO, EO и т. д. и доказываем, что они являются биссектрисами углов D, E и т.д. и образуют равные равнобедренные треугольники.

Таким образом, все биссектрисы многоугольника ABCDE… пересекаются в точке O, а значит, точка O является центром вписанной в ABCDE… окружности.

pravilnye-mnogougolniki По свойству равнобедренного треугольника, его высота и медиана, проведённые к основанию, совпадают, то есть являются серединными перпендикулярами.

Значит, O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника ABCDE… Отсюда следует, что O — центр описанной около этого многоугольника окружности.

Таким образом, любой правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий