Теорема.
Правильный многоугольник вписан в окружность и описан около окружности.
Дано:
ABCDE… — правильный многоугольник.
Доказать:
ABCDE… — вписанный в окружность и описанный около окружности.
Доказательство:
Пусть точки A, B и C — соседние вершины некоторого правильного многоугольника.
Проведём биссектрисы углов A и B многоугольника. Обозначим их точку пересечения через O.
Углы A и B равны (как углы правильного многоугольника). Пусть ∠A=∠B=α.
Биссектрисы равных углов образуют равные углы. Значит, ∠OAB=∠OBA=α/2. Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB (по признаку).
Проведём отрезок OC. Рассмотрим треугольники AOB и COB.
1) AB=CB (как стороны правильного многоугольника).
2) BO — общая сторона.
3) ∠OBA=∠OBC=α/2 (так как BO — биссектриса по построению).
Значит, треугольники AOB и COB равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, треугольник COB также является равнобедренным и его углы при основании равны α/2.
Поскольку ∠С=∠A=∠B=α, а ∠OCB=α/2, то CO является биссектрисой угла C.
Аналогично проводим отрезки DO, EO и т. д. и доказываем, что они являются биссектрисами углов D, E и т.д. и образуют равные равнобедренные треугольники.
Таким образом, все биссектрисы многоугольника ABCDE… пересекаются в точке O, а значит, точка O является центром вписанной в ABCDE… окружности.
По свойству равнобедренного треугольника, его высота и медиана, проведённые к основанию, совпадают, то есть являются серединными перпендикулярами.
Значит, O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника ABCDE… Отсюда следует, что O — центр описанной около этого многоугольника окружности.
Таким образом, любой правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
Что и требовалось доказать.